Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán Sở Phú Thọ 2026 (Có đáp án)

 Câu 3 Gọi:
- A : trúng dự án 1, P(A) 0,8 . 
- B : trúng dự án 2. 
Biết: P(B | A) 0,9 , P(B | A) 0,2.
a)
Ta cần tính P(A | B) .
Trước hết:
P(B) 1 P(B) .
Tính P(B) :
P(B) P(B | A)P(A) P(B | A)P(A) 0,90,8 0,20,2 0,76 .
Suy ra P(B) 0,24 .
Mặt khác:
P(A B) P(A) P(B | A) 0,80,1 0,08.
 0,08 1
Vậy P(A | B) 0,12 .
 0,24 3
Mệnh đề sai.
b) Ta vừa tính được P(B) 0,76 .
Vậy đúng.
c) Xác suất trúng cả hai dự án: P(A B) P(A)P(B | A) 0,80,9 0,72 .
Vậy đúng.
d) P(A) 1 0,8 0,2.
Vậy đúng.
Kết luận Câu 3: a S, b Đ, c Đ, d Đ.
 x2 3x 6
Câu 4 Cho y .
 x 1
 4
Ta chia đa thức: y x 2 .
 x 1
a) Tiệm cận xiên là y x 2 .
Suy ra a 1, b 2 .
Khi đó a 2b 1 2( 2) 5.
Vậy đúng.
 4 (x 1)2 4 (x 3)(x 1)
b) Đạo hàm: y 1 .
 (x 1)2 (x 1)2 (x 1)2
Hai điểm cực trị ứng với x 1 và x 3.
Tính tọa độ: 1 3 6
y( 1) 5,
 2
 9 9 6
y(3) 3 .
 2
Phương trình đường thẳng qua ( 1, 5) và (3,3) :
 3 ( 5)
Hệ số góc m 2 .
 3 ( 1)
Nên y 2x 3 .
Vậy đúng.
c) Gọi A( 1, 5) , B(3,3) , O(0,0) .
 1 1 1
Diện tích tam giác OAB : S | x y x y | | ( 1)3 3( 5) | | 3 15 | 6 .
 2 A B B A 2 2
Vậy đúng.
d) Hàm số không xác định tại x 1, nên không thể nghịch biến trên toàn khoảng ( 1;3) .
Vậy sai.
Câu 4: a Đ, b Đ, c Đ, d S.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1
Doanh thu: F(x) 0,03x2 800x (nghìn đồng).
 50000
Chi phí bình quân 1 sản phẩm: G(x) 450 (nghìn đồng).
 x
Vậy tổng chi phí là
xG(x) 50000 450x (nghìn đồng).
Lợi nhuận:
P(x) F(x) xG(x)
 0,03x2 800x (50000 450x)
 2
 0,03x 350x 50000 .
Yêu cầu:
P(x) 100000 (vì 100 triệu = 100000 nghìn).
Suy ra 0,03x2 350x 50000 100000
 0,03x2 350x 150000 0
 2
 3x 35000x 15000000 0 .
Giải ra được khoảng nghiệm:
445,59 x 11221,07
Mà 1 x 5000 nên số nguyên nhỏ nhất thỏa là
x 446 .
Đáp án: 446
Câu 2 Đây là câu hình không gian khó.
Đặt đáy ABCD nằm trên mặt phẳng z 0 , gọi cạnh hình thoi là s .
Chọn:
• B(0,0,0) , 
• C(s,0,0) , 
 s 3s 
• A , ,0 
 2 2 
do ABC 60 .
  
Gọi vectơ cạnh bên của lăng trụ là AA ( p,q,h) .
Khi đó:
  
• C C | AA | s , 
• C A s . 
Mặt phẳng (BCC B ) tạo với (ABC) góc 45 nên thành phần vuông góc với BC của cạnh bên thỏa
| q | | h |.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 6 3 .
Dùng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, suy ra s 12 2 .
Lại có C C s p2 q2 h2 s2 .
Điều kiện C A s cho thêm hệ thức p 3,q .
 s
Kết hợp với q2 h2 suy ra 5h2 s2 h .
 5
Thể tích lăng trụ: V Sdáy h .
Vì đáy là hình thoi cạnh s , góc 60 nên
 3
S s2 sin 60 s2 .
 dáy 2
 3 s 3 s3
Do đó V s2   .
 2 5 2 5
 3 (12 2)3 3 3456 2 1728 6 1728 30
Thay s 12 2 : V   .
 2 5 2 5 5 5
 1728 15
Vì đề ghi V a 2 , nên a .
 5
 1728 15
Đáp án: a 
 5
Câu 3
Đặt:
   
A(0,0,0) , AB (3,0,0) , AD (0,4,0) . 
  
Gọi AA (x, y, z) .  
Ta có: | AA | 5 , B· AA 60 , D· AA 60 . 
Suy ra
  1 15
AB  AA | AB || AA | cos60 35 
 2 2
 15 5
 3x x 
nên 2 2 .
 1 5
Tương tự 4y 45 10 y .
 2 2
 25 25 25 5
Lại có x2 y2 z2 25, nên z2 25 z .
 4 4 2 2
  5 5 5 
Vậy AA , , .
 2 2 2 
Ta có:
    5 5 5 11 13 5 
AC AB AD AA 3,0,0 0,4,0 , , , , .
 2 2 2 2 2 2 
Mặt khác
 5 13 5 1 5 5 
D C C D 3,4,0 , , , , .
 2 2 2 2 2 2 
Tích vô hướng:
  11 1 13 5 5 5 11 65 25
AC  D C    26 .
 2 2 2 2 2 2 4 4 2
Độ dài:
   
| AC | 85 , | D C | 19 .
 26 26
Suy ra cos .
 85 19 1615
Do đó  130,31 .
Làm tròn đến hàng đơn vị: 130
Câu 4
Tấm bìa hình vuông cạnh 40 cm được chia thành:
• 4 hình chữ nhật ở giữa làm thân lồng đèn, 
• 4 tam giác phía trên và 4 tam giác phía dưới tạo thành 2 hình chóp tứ giác đều. 
 40
Vì cạnh hình vuông là 40 và có 4 mặt bên bằng nhau nên cạnh đáy hình lăng trụ là 10 cm.
 4
Đặt:
• AH KD x , 
• chiều cao phần thân là HK 40 2x . 
Khi đó:
• phần thân là lăng trụ đáy vuông cạnh 10, cao 40 2x ; 
• mỗi đầu là một hình chóp tứ giác đều đáy cạnh 10. Với tam giác bên của chóp, đường cao mặt bên bằng x , nên chiều cao chóp là
 2
 2 10 2
h x x 25 .
 2 
 1
Thể tích đèn lồng: V (x) 102 (40 2x) 2 102 x2 25
 3
 200
 100(40 2x) x2 25 .
 3
 200x
Lấy đạo hàm: V (x) 200 .
 3 x2 25
Cho V (x) 0 :
 200x
 200 0 x 3 x2 25 x2 9x2 225
 3 x2 25
 15 2
 8x2 225 x .
 4
 2000 2
Thay vào V (x) : V 4000 3057,19 .
 max 3
Làm tròn đến hàng đơn vị:
Đáp án: 3057 cm3
Câu 5
Ra đa ở A(12;8;3) , bán kính phát hiện R 30 km.
UAV bay từ M (72;28;3) đến N( 32; 30;3) với vận tốc 240 km/h.
Vì cả A, M , N đều có tung độ cao z 3 , ta xét trong mặt phẳng ngang.
Vectơ chỉ phương của đường bay:
 
MN ( 104; 58) .
Khoảng cách từ A(12;8) đến đường thẳng MN là
 | ( 104)(8 28) ( 58)(12 72) | 700
d 11,76 30 .
 ( 104)2 ( 58)2 3545
Vậy đường bay cắt vùng phát hiện theo một dây của đường tròn bán kính 30.
Độ dài đoạn UAV xuất hiện trên màn hình là
L 2 302 d 2 55,20 km .
 L 55,20
Thời gian xuất hiện: t gi? 0,23 gi?
 240 240
 t 13,8 phút.
Làm tròn đến hàng đơn vị:
Đáp án: 14 phút
Câu 6
Đặt trục SO làm trục Ox , đỉnh S tại gốc, tâm đáy O tại x 8 .
Bán kính đáy là 6 , nên ở vị trí cách đỉnh một đoạn x , bán kính tiết diện tròn là 6 3x
r(x) x .
 8 4
Mặt phẳng cắt song song với trục SO và cách trục SO một khoảng 3 cm.
Phần không chứa đỉnh S là phần “mảnh” gần mặt bên hình nón.
Tính theo phương pháp tích phân, thể tích phần này là
V 32 48 3 6ln(7 4 3) 33,196 .
Làm tròn đến hàng phần chục:33,2 cm3