Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Nam Định (Có đáp án)

 Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Nam Định (Có đáp án)
 Cách khác: Quy đồng, rút gọn được 
 (thỏa mãn điều kiện)
 0,25
 Xét hệ 
 + Điều kiện xác định: và .
 + Ta có 
 0,25
 .
 + Với , thay vào (2) ta được
 2b
 1,0đ 0,25
 .
 Khi thì (thỏa mãn điều kiện).
 + Với y = 1 - 2x, thay vào (2) ta được
 0,25
 . Khi đó có (thỏa mãn điều kiện).
 + Kết luận: Hệ cho có đúng hai bộ nghiệm (x;y) là (29 ― 6 23;30 ― 6 23) , 
 (1; -1).
Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác trong 
của cắt đường tròn (O) tại D (D ≠ A). Trên cung nhỏ AC của đường tròn (O) lấy điểm G khác C sao 
cho AG > GC; một đường tròn có tâm là K đi qua A, G và cắt đoạn thẳng AD tại điểm P nằm bên trong 
tam giác ABC. Đường thẳng GK cắt đường tròn (O) tại điểm M (M ≠ G).
a) Chứng minh các tam giác KPG, ODG đồng dạng với nhau.
b) Chứng minh GP, MD là hai đường thẳng vuông góc.
c) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng OD và KP, đường thẳng qua A và song song với BC cắt đường 
tròn (K) tại điểm E (E ≠ A). Chứng minh rằng tứ giác DGFP là tứ giác nội tiếp và 퐹 = 900.
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Nam Định (Có đáp án)
 Ý Nội dung Điểm
 + Xét đường tròn có . 0,25
 0,25
 3a + Xét đường tròn có . 
 1,0đ Suy ra (1). 0,25
 + Tam giác cân ở và tam giác cân ở (2).
 0,25
 Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác này đồng dạng với nhau.
 3b 0,5
 Có 
 1,0đ
 Mặt khác nên , suy ra 0,5
 Ta có , suy ra tứ giác nội tiếp 0,5
 Suy ra . Tứ giác nội tiếp nên .
 3c
 0,25
 1,0đ Suy ra hay với là giao điểm của và .
 Suy ra tứ giác nội tiếp.
 nên , suy ra , do đó . 0,25
Câu 4 (1,5 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn x2y2 (y – x) = 5xy2 - 27.
 1 2 12 2 2 2
b) Cho p , p , . , p là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 1 + 2 +⋯ + 12 chia hết cho 
12.
 Ý Nội dung Điểm
 + Giả sử có x , y ∈ N* thỏa mãn yêu cầu. Ta có y2 (x3 – x2y + 5x) = 27 (1).
 0,25
 Suy ra 27 chia hết cho nên hay .
 4a
 + Xét y = 1, thay vào (1) có x3 – x2 + 5x = 27 ⇔ x (x2 – x + 5) = 27.
 0,75đ
 27
 Điều này chứng tỏ x là ước nguyên dương của 27 và có 5x ≤ 27 ⇔ x ≤ , suy ra x = 1 0,25
 5
 hoặc x = 3. Thử trực tiếp hai trường hợp này thấy không thỏa mãn.
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Nam Định (Có đáp án)
 + Xét y = 3, thay vào (1) có x3 – 3x2 + 5x – 3 = 0 ⇔ (x – 2)(x2 – 2x + 3) = 0
 0,25
 ⇔ x = 1. Vậy (x;y) = (1;3).
 + Với p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng = 6 ± 1( ∈ ℕ∗) 0,25
 Suy ra 2 ―1 = 36 2 ± 12 chia hết cho 12. 0,25
 4b
 0,75đ + Áp dụng có chia hết cho 12
 0,25
 Suy ra chia hết cho 12.
 Cách viết khác:
 + Từ = 3 ± 1( ∈ ℕ∗) suy ra 2 ―1 = 9 2 ± 6 chia hết cho 3 .
 + Từ = 4 ± 1( ∈ ℕ∗), khi đó có 2 ―1 = 16 2 ± 8 chia hết cho 4 .
 Suy ra p2 – 1 chia hết cho 12. 
 + Áp dụng suy ra chia hết cho 12.
Câu 5 (1,5 điểm).
a) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng .
 + + ≥ 2
b) Xét hai tập hợp A, B khác ∅ thỏa mãn A∩B = ∅ và A∪B = N*. Biết rằng A có vô hạn phần tử và tổng 
của mỗi phần tử thuộc A với mỗi phần tử thuộc B là phần tử thuộc B. Gọi x là phần tử bé nhất thuộc B 
thỏa mãn x ≠ 1. Hãy tìm x.
 Ý Nội dung Điểm
 + Ta có . 
 Tương tự thì BĐT cần chứng minh được viết lại thành 0,25
 .
 + Theo BĐT Cauchy có
 5a
 0,25
 0,75đ
 Tương tự có 
 0,25
 .
 Cộng vế các BĐT (1), (2), (3) suy ra ĐPCM.
 + Chứng minh :
 5b Giả sử ngược lại, , khi đó với có . 
 0,25
 0,75đ Có suy ra thuộc . Cứ như vậy có đều 
 nằm trong nên suy ra là tập hữu hạn, mâu thuẫn. Vậy có .
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Nam Định (Có đáp án)
+ Xét x ≥ 4: Do 1 < x – 2 < x nên từ tính bé nhất của x trong B suy ra 
x – 2 ∈ A, suy ra x – 1 = (x – 2) + 1 thuộc B, điều này lại mâu thuẫn với tính bé nhất 
 0,25
của x trong B.
Vậy phải có x = 2 hoặc x = 3.
+ Với x = 2, cách chọn A là tập các số nguyên dương chia hết cho 3 và B là tập hợp các 
số nguyên dương không chia hết cho 3 thỏa mãn yêu cầu.
Với x = 3, cách chọn A là tập hợp các số nguyên dương chẵn và B là tập hợp các số 0,25
nguyên dương lẻ thỏa mãn yêu cầu.
Tóm lại x = 2 hoặc x = 3.
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Nam Định (Có đáp án)
 ĐỀ SỐ 5
 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2020 - 2021
 NAM ĐỊNH Môn thi: Toán (Chuyên)
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1.
 1 1 1
1. Cho các số thực x, y, z khác 0. Đặt . Chứng minh 2 2 2
 = + , = + , = + + + ― 
= 4.
2. Cho các số thực a, b khác -2 thỏa mãn (2a + 1)(2b + 1) = 9. Tính giá trị của biểu thức 
 1 1
A = .
 2 + 2 
Bài 2.
1. Giải phương trình 2 2 + +3 = 3 + 3.
 2
 2 + 1 + 2 + 1 = ( )
2. Giải hệ phương trình 2 .
 ( + )( + 2 ) + 3 + 2 = 4
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn tiếp xúc với các 
cạnh AB, AC tại M, N và có tâm I thuộc cạnh BC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
1. Chứng minh các điểm A, M, H, I , N cùng thuộc đường tròn và HA là tia phân giác của góc MHN 
2. Đường thẳng đi qua I và vuông góc với BC cắt MN tại K. Chứng minh AK đi qua trung điểm D của 
BC.
3. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Chứng minh 푆 = .
Bài 4.
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3 + y2 = xy2 + 1.
 1 
2. Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn c + = a + . Chứng minh ab là lập phương của một số 
nguyên dương.
Bài 5.
 1
1. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh 3 3 3 4
 + + ≤ 8 + 
+ 4 + 4.
2. Ban đầu có 2020 viên sỏi để trong 1 chiếc túi. Có thể thực hiện công việc như sau:
Bước 1: Bỏ đi 1 viên sỏi và chia túi này thành 2 túi mới.
Bước 2: Chọn 1 trong 2 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và chia túi đó 
thành 2 túi mới, khi đó có 3 túi.
Bước 3: Chọn 1 trong 3 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và chia túi đó 
thành 2 túi mới, khi đó có 4 túi.
Tiếp tục quá trình trên. Hỏi sau một số bước có thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi hay 
không?
 ---------HẾT---------
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Nam Định (Có đáp án)
 ĐÁP ÁN
Câu 1 (2,0 điểm).
 1 1 1
a) Cho các số thực x, y, z khác 0 . Đặt và .
 = + , = + = + 
Chứng minh 2 + 2 + 2 ― = 4.
b) Cho các số thực , khác -2 thỏa mãn (2 +1)(2 +1) = 9.
 1 1
Tính giá trị của biểu thức .
 = 2 + 2 
 Ý Nội dung Điểm
 1 1 1
 Ta có 2 2 2 2 và 2 2 2 . 0,25
 = + 2 +2, = + 2 +2 = + 2 2 +2
 1 
 0,25
 a Ta có = + + + 
 (1,0 điểm) 1 1 1
 Suy ra 2 2 2 2 0,25
 = + 2 2 + + 2 + + 2 +2
 Suy ra 2 + 2 + 2 ― = 4. 0,25
 9 1
 Từ điều kiện bài toán rút được do . 0,25
 = 2(2 1) ― 2( 2 +1 ≠ 0)
 b 1 2 1
 Suy ra = . 0,25
 (1,0 điểm) 2 3( 2)
 2 1 1 2 1 3 2
 Suy ra . 0,5
 = 3( 2) + 2 = 3( 2) = 3
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình 2 2 + +3 = 3 + 3.
 2
 2 + 1 + 2 + 1 = ( )
b) Giải hệ phương trình 2 .
 ( + )( + 2 ) + 3 + 2 = 4
 Ý Nội dung Điểm
 Điều kiện ≥ ―3.
 Đặt + 3 = 푡,(푡 ≥ 0), phương trình trở thành 0,25
 2 2 + 푡2 ―3 푡 = 0.
 a = 푡
 Phương trình tương đương ( ― 푡)(2 ― 푡) = 0⇔ 0,25
 (1,0 điểm) 2 = 푡
 Với = 푡 ta được = + 3
 ≥ 0
 ≥ 0 1 13 0,25
 ⇔ 2 ⇔ 1± 13⇔ = (thỏa mãn điều kiện)
 = + 3 = 2
 2
 ≥ 0
 Với 2 = 푡 ta được 2 = + 3⇔ 4 2 = + 3 
 ≥ 0
 ⇔ = 1 ⇔ = 1 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
 = ― 3
 4
 Vậy tập nghiệm của phương trình là 푆 = 1, 1 13 .
 2
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Nam Định (Có đáp án)
 2
 2 + 1 + 2 + 1 = ( )
 2 
 ( + )( + 2 ) + 3 + 2 = 4
 Phương trình (2) tương đương ( + ―1)( +2 +4) = 0 0,25
 1
 Với điều kiện xác định ta có nên dẫn đến 
 +2 +4 ≥ ― 2 ―1 + 4 > 0 + 
 = 1.
 Đặt = 2 + 1 ≥ 0 và = 2 + 1 ≥ 0, kết hợp (1) và 
 + = 1 ( 2 ― 2)2
 + = 1 ta có hệ phương trình 8
 2 + 2 = 4 0,25
 + = 0
 Trường hợp 1: , hệ vô nghiệm.
 b 2 + 2 = 4
 (1,0 điểm) ( ― )2( + ) = 8 ( + )(4 ― 2 ) = 8
 Trường hợp 2: 2 + 2 = 4 ⇔ ( + )2 ― 2 = 4
 푆 = + 푆(4 ― 푃) = 8
 Đặt: 푃 = , hệ trở thành 푆2 ― 2푃 = 4 0,25
 2
 푃 = 푆 4 푆2 4
 2 푃 = 푃 = 0
 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 
 푆(4 ― 푆 4 ) = 8 푆 = 2
 2 푆 ∈ {2, ― 1 ± 5}
 = 0
 + = 2 = 2
 Suy ra = 0 ⇔ = 2, từ đó suy ra tập nghiệm ( , ) của hệ là 
 = 0 0,25
 ― 1 ; 3 , 3 ; ― 1 .
 2 2 2 2
Câu 3 (3,0 điểm).
Cho tam giác nhọn có < nội tiếp đường tròn ( ). Một đường tròn tiếp xúc với các cạnh ,
 tại , và có tâm thuộc cạnh . Kẻ đường cao của tam giác .
a) Chứng minh các điểm , , , , cùng thuộc một đường tròn và là tia phân giác của góc .
b) Đường thẳng đi qua và vuông góc với cắt tại 퐾. Chứng minh 퐾 đi qua trung điểm của 
.
c) Tiếp tuyến của đường tròn ( ) tại và cắt nhau tại 푆. Chứng minh 푆 = .
Hình vẽ:
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Nam Định (Có đáp án)
 Ý Nội dung Điểm
 Do , là các tiếp tuyến của đường tròn (I) nên = = 90∘, suy ra 
 0,25
 các điểm , thuộc đường tròn đường kính .
 Ta có là đường cao của tam giác nên = 90∘, suy ra điểm thuộc 
 a đường tròn đường kính . 0,25
(1,0 điểm) Suy ra các điểm , , , , cùng thuộc đường tròn đường kính .
 Do tứ giác nội tiếp nên = và = . 0,25
 Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, suy ra △ cân tại , suy ra =
 0,25
 , suy ra = , hay là tia phân giác của góc .
 b Kẻ đường thẳng di qua K và song song với BC cắt AB và AC tại P và Q.
 0,25
(1,0 điểm) Ta có 퐾푃 + 푃 = 180∘, suy ra tứ giác 퐾푃 nội tiếp, suy ra 퐾 푃 = 퐾 푃.
 Chứng minh tương tự ta có 퐾 푄 = 퐾 . Suy ra 퐾 푃 = 퐾 푄. 0,25
 Xét tam giác 푃푄 có 퐾 vừa là đường cao, vừa là phân giác nên nó là tam giác 
 0,25
 cân, suy ra 퐾 là đường trung tuyến, hay 퐾 là trung điểm của 푃푄.
 Dựng là giao điểm của 퐾 và .
 퐾푃 퐾 퐾푄
 Do 푃푄// , áp dụng định lý Talet ta có: = = , 
 0,25
 Suy ra = .
 Suy ra D là trung điểm của BC.
 Gọi là giao điểm của 푆 và , là giao điểm thứ 2 của 푆 và ( ).
 Trên cạnh lấy điểm ′ khác sao cho = ′, cần chứng minh ′ là 
 trung điểm của . 0,25
 c Ta có = ′ và = ′ nên △ dồng dạng △ ′
(1,0 điểm) 
 Suy ra = (1)
 ′ 
 Ta có = ′ và = ′ nên △ đồng dạng △ ′
 0,25
 Suy ra = (2)
 ′ 
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Nam Định (Có đáp án)
 푆 
 Ta có nên đồng dạng , suy ra .
 푆 = 푆 △ 푆 △ 푆 푆 = 
 푆 0,25
 Chứng minh tương tự ta được . Suy ra (3)
 푆 = = 
 Từ (1), (2) và (3) suy ra ′ = ′ hay ′ là trung điểm của .
 0,25
 Ta có điều phải chứng minh.
Câu 4 (1,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên , thỏa mãn 3 + 2 = 2 +1.
 1 
b) Cho các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh là lập phương của một số 
 , , + = + 
nguyên dương.
 Ý Nội dung Điểm
 Ta có 3 + 2 = 2 + 1⇔( 3 ― 1) ― 2( ― 1) = 0
 2 2
 ⇔( ― 1) + + 1 ― = 0 0,25
 = 1
 ⇔ 2 = 2 + + 1
 Với = 1, khi đó phương trình có nghiệm (1; ) với là số nguyên. 0,25
 Vói 2 = 2 + +1⇔(2 )2 ―(2 +1)2 = 3
 a ⇔(2 ― 2 ― 1)(2 + 2 + 1) = 3
 (0,75 điểm) Lập bảng xét các trường hợp
 2y – 2x – 1 1 -1 3 -3
 2y + 2x + 1 3 -3 1 -1 0,25
 x 0 -1 -1 0
 y 1 -1 1 -1
 Vậy tập các giá trị ( ; ) thỏa mãn là {(0;1),(0; ― 1),( ― 1; ― 1),( ― 1;1),(1; 
 ), ∈ ℤ}
 1 
 Ta có 2 2 0,25
 + = + ⇔ + = + 
 ∗
 b Suy ra a chia hết cho b, đặt a = bk, ∈ ℕ , thay vào điều kiện ta được
 2 3 2 2 2 2 0,25
 (0,75 điểm) + = + ⇔ + = + 
 Suy ra chia hết cho và chia hết cho , suy ra = , suy ra = 3, ta có 
 0,25
 điều phải chứng minh.
Câu 5 (1,5 điểm).
a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng
 1
 3 + 3 + 3 ≤ + 4 + 4 + 4.
 8
b) Ban đầu có 2020 viên sỏi để trong 1 chiếc túi. Có thể thực hiện công việc như sau:
Bước 1: Bỏ đi 1 viên sỏi và chia túi này thành 2 túi mới.
Bước 2: Chọn 1 trong 2 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và chia túi đó 
thành 2 túi mới, khi đó có 3 túi.
Bước 3: Chọn 1 trong 3 túi này sao cho túi đó có ít nhất 3 viên sỏi, bỏ đi 1 viên từ túi này và chia túi đó 
thành 2 túi mới, khi đó có 4 túi.
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Nam Định (Có đáp án)
Tiếp tục quá trình trên. Hỏi sau một số bước có thể tạo ra trường hợp mà mã zi túi có đúng 2 viên sỏi hay 
không?
 Ý Nội dung Điểm
 Xét hiệu ( 3 + 3 + 3) ― ( 4 + 4 + 4) = 3(1 ― ) + 3(1 ― ) + 3
 (1 ― ) = 3( + ) + 3( + ) + 3( + ) = 2( + ) + 2( + 0,25
 ) + 2( + )
 Do , , không âm nên , , không âm 
 Suy ra 2( + ) + 2( + ) + 2( + )
 a
 2 2 2 0,25
 (0,75 điểm) ≤ ( + + ) + ( + + ) + ( + + )
 = ( + + )( 2 + 2 + 2)
 1 1
 2 2 2 
 = 2( + + )(2 +2 +2 ) ≤ 2
 ( 2 2 2 2 2 2 )2 1
 0,25
 4 = 8
 Suy ra điều phải chứng minh.
 Sau mỗi bước, số sỏi giảm đi 1 và số túi tăng lên 1, suy ra tổng số sỏi và túi 
 0,25
 không thay đổi sau mỗi bước, tổng này là 2021.
 Giả sử sau một số bước có thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi, 
 b 0,25
 khi đó tổng số sỏi và túi phải chia hết cho 3.
 (0,75 điểm)
 Do 2021 không chia hết cho 3 nên mâu thuẫn, suy ra giả sử sai.
 Vậy không thể tạo ra trường hợp mà mỗi túi có đúng 2 viên sỏi sau một số 0,25
 bước.
 DeThiHay.net