Bộ đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 Cánh Diều - 19 Đề có lời giải

 Bộ đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 Cánh Diều - 19 Đề có lời giải - DeThiHay.net
 2 2 2
Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 16 . Tâm của S có tọa độ là
A. 1; 2; 3 . B. 1;2;3 . C. 1;2; 3 . D. 1; 2;3 .
Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2;1;1 và B 0;3; 1 . Mặt cầu S đường kính AB có phương 
trình là
A. x2 (y 2)2 z2 3. B. (x 1)2 (y 2)2 z2 3.
C. (x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 9 . D. (x 1)2 (y 2)2 z2 9.
Câu 9. Cho hai biến cố A và B , với P A 0,6, P B 0,7 , P A B 0,3. Tính P A| B .
 3 1 6 1
A. . B. . C. . D. .
 7 2 7 7
Câu 10. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng P B 0, xác suất của biến cố A với điều 
kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
 P A P A .P B A 
A. P A B . B. P A B .
 P B P B 
 P B .P B A P B 
C. P A B . D. P A B . 
 P A P A 
Câu 11. Cho hai biến cố A, B thoả mãn P A 0,4; P B 0,3; P A∣ B 0,25. Khi đó, P B∣ A bằng
A. 0,1875.B. 0,48 .C. 0,333.D. 0,95.
Câu 12. Cho một hộp kín có 6 thẻ ATM của BIDV và 4 thẻ ATM của Vietcombank.Lấy ngẫu nhiên lần 
lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết lần thứ 
nhất đã lấy được thẻ ATM của BIDV .
 5 2 7 4
A. . B. . C. . D. .
 9 3 9 9
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí 
sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;7 , B 3;8; 1 và đường thẳng 
 x 1 y 1 z 5
 : 
 2 3 4
a) Đường thẳng AB và đường thẳng vuông góc với nhau;
b) Đường thẳng AB và mặt phẳng P : x 2y 3z 1 0 tạo với nhau góc 750 (làm tròn đến độ);
 DeThiHay.net Bộ đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 Cánh Diều - 19 Đề có lời giải - DeThiHay.net
c) Mặt cầu S đường kính AB có tâm I(1; 3; 3) , bán kính R 3 5
d) Mặt cầu S đường kính AB có phương trình là x 1 2 y 3 2 z 3 2 45
Câu 2: Một kho hàng chứa 85% sản phẩm loại I và 15% sản phẩm loại II , trong đó có 1% sản phẩm loại I 
bị hỏng, 4% sản phẩm loại II bị hỏng. Các sản phẩm có kích thước và hình dạng như nhau. Một khách hàng chọn 
ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Xét các biến cố:
 A:“Khách hàng chọn được sản phẩm loại I I”;
B :“Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng”;
a) P A 0,85 b) P B | A 0,99 . c) P B 0,9855 . d) P A | B 0,95
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;1;1 , mặt phẳng P : x z 1 0 và đường thẳng 
 x 1 t
 d : y 2 . Gọi d1;d2 là các đường thẳng đi qua A , nằm trong P và đều có khoảng cách đến đường thẳng 
 z 2 t
 a
d bằng 6 . Côsin của góc giữa d và d bằng . Tính giá trị a b
 1 2 b
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A 2;4; 1 , B 1;4; 1 , C 2;4;3 , D 2;2; 1 , 
biết M x; y; z để MA2 MB2 MC 2 MD2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z bằng bao nhiêu? (Lấy giá trị gần 
đúng làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Câu 3: Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. 
Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi 
xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai (Làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).
Câu 4: Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu cam, còn lại là kẹo 
màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo 
 1
khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là . Hỏi ban đầu trong túi có bao 
 3
nhiêu viên kẹo?
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3 
Câu 1. Một khối bê tông cao 2m được đặt trên mặt đất phẳng. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng nằm 
ngang, cách mặt đất x( m)(0 x 2) thì được mặt cắt là hình chữ nhật có chiều dài 5x( m) , chiều rộng (0,5)x ( m) 
(Hình).
 DeThiHay.net Bộ đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 Cánh Diều - 19 Đề có lời giải - DeThiHay.net
Tính thể tích của khối bê tông (đơn vị: mét khối, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Câu 2. Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp 
xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến 
hai bức tường và nền nhà là 17cm,18cm,21cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng 
bằng bao nhiêu cm biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23cm đến 24,5cm ? Kết quả là tròn đến 
một chữ số thập phân.
Câu 3. Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí X với xác suất 0,55 . Nếu 
máy bay đó không xuất hiện ở vị trí X thì nó xuât hiện ở vị trí Y . Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí 
tại các vị trí X và Y . Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí X hoặc Y thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy 
bay đó. Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay xuất hiện tại X thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất 
hiện tại Y thì bắn 1 quả tên lửa. 
Biết rằng, xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy 
bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Tính xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác 
chiến nêu trên?
 DeThiHay.net Bộ đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 Cánh Diều - 19 Đề có lời giải - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
 ĐÁP ÁN CHI TIẾT – THANG ĐIỂM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh 
chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng K nếu
A. F x f x ,x K. B. f x F x ,x K.
C. F x f x ,x K. D. f x F x ,x K.
 Lời giải
Chọn C
Theo định nghĩa thì hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng K nếu
F x f x ,x K.
 3 3
Câu 2. Nếu f x dx 2 thì f x 2x dx bằng
 1 1
A. 20 .B. 18.C. 12.D. 10.
 Lời giải
Chọn D
 3 3 3
 3
Ta có f x 2x dx f x dx 2xdx 2 x 2 2 9 1 10 .
 1
 1 1 1
Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình 2x 2y z 3 0 . Mặt phẳng P có 
vectơ pháp tuyến là
A. 4; 4;2 . B. 2;2; 3 .C. 4;4;2 .D. 0;0; 3 .
 Lời giải
Chọn A 
Dựa vào mặt phẳng P , ta được vectơ pháp tuyến là 2;2; 1 . Chọn đáp án A vì nó cùng phương với 
 2;2; 1 . 
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1;0;1) và N(3;2; 1) . Đường thẳng MN có phương trình tham 
số là
 x 1 2t x 1 t x 1 t x 1 t
A. y 2t . B. y t . C. y t . D. y t .
 z 1 t z 1 t z 1 t z 1 t
 Lời giải
Chọn D
  
Đường thẳng MN nhận MN (2;2; 2) hoặc u(1;1; 1) là véc tơ chỉ phương nên ta loại ngay phương án A, B 
và C.
Thay tọa độ điểm M (1;0;1) vào phương trình ở phương án D ta thấy thỏa mãn.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, góc tạo bởi hai vectơ a ( 4;2;4) và b (2 2; 2 2;0) là:
 DeThiHay.net Bộ đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 Cánh Diều - 19 Đề có lời giải - DeThiHay.net
A. 300 B. 900 C. 1350 D. 450
 Lời giải
Chọn C
 8 2 4 2 2 
cos a,b a,b 1350
 2 2 2 2
 4 22 42 . 2 2 2 2 02
Câu 6. Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian Oxyz . Tính cos giữa hai tia sáng có 
 x y z x 1 y 1 z 1
phương trình lần lượt là d : , d : .
 1 2 1 1 2 3 3 9
 1 1
A. . B. 0. C. 1. D. .
 2 2
 Lời giải
Chọn B
d1 có vectơ chỉ phương u1 2;1; 1 .
d2 có vectơ chỉ phương u2 3;3;9 .
 2.3 1.3 1 .9
Ta có cos d1,d2 0 .
 22 12 1 2 . 32 32 92
 2 2 2
Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 16 . Tâm của S có tọa độ là
A. 1; 2; 3 . B. 1;2;3 . C. 1;2; 3 . D. 1; 2;3 .
 Lời giải
Chọn D
Từ phương trình đã cho, ta thấy tọa độ tâm là I(1; 2;3) 
Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2;1;1 và B 0;3; 1 . Mặt cầu S đường kính AB có phương 
trình là
A. x2 (y 2)2 z2 3. B. (x 1)2 (y 2)2 z2 3.
C. (x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 9 . D. (x 1)2 (y 2)2 z2 9.
 Lời giải
Chọn B
 AB
Mặt cầu S đường kính AB nhận I 1;2;0 trung điểm AB làm tâm, có bán kính là R 3 nên có 
 2
phương trình (x 1)2 (y 2)2 z2 3
Câu 9. Cho hai biến cố A và B , với P A 0,6, P B 0,7 , P A B 0,3. Tính P A| B .
 3 1 6 1
A. . B. . C. . D. .
 7 2 7 7
 DeThiHay.net Bộ đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 Cánh Diều - 19 Đề có lời giải - DeThiHay.net
 Lời giải
Chọn A
 P A B 0,3 3
Ta có: P A | B 
 P B 0,7 7
Câu 10. Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng P B 0, xác suất của biến cố A với điều 
kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
 P A P A .P B A 
A. P A B . B. P A B .
 P B P B 
 P B .P B A P B 
C. P A B . D. P A B . 
 P A P A 
 Lời giải
Chọn B
 P A .P B A 
Theo công thức Bayes, ta có P A B .
 P B 
Câu 11. Cho hai biến cố A, B thoả mãn P A 0,4; P B 0,3; P A∣ B 0,25. Khi đó, P B∣ A bằng
A. 0,1875.B. 0,48 .C. 0,333.D. 0,95.
 Lời giải
Chọn A
 P B .P A∣ B 0,3.0,25
Theo công thức Bayes, ta có: P B∣ A 0,1875 .
 P A 0,4
Câu 12. Cho một hộp kín có 6 thẻ ATM của BIDV và 4 thẻ ATM của Vietcombank.Lấy ngẫu nhiên lần 
lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết lần thứ 
nhất đã lấy được thẻ ATM của BIDV .
 5 2 7 4
 A. . B. . C. . D. .
 9 3 9 9
 Lời giải
Chọn D
Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ATM Vietcombank“, 
B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ATM của BIDV “. 
Ta cần tìm P A| B 
Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Vietcombank) nên 
 4
P A | B 
 9
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí 
sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;7 , B 3;8; 1 và đường thẳng 
 x 1 y 1 z 5
 : 
 2 3 4
a)[NB] Đường thẳng AB và đường thẳng vuông góc với nhau;
b)[TH] Đường thẳng AB và mặt phẳng P : x 2y 3z 1 0 tạo với nhau góc 750 (làm tròn đến độ);
c) [NB] Mặt cầu S đường kính AB có tâm I(1; 3; 3) , bán kính R 3 5
 DeThiHay.net Bộ đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 Cánh Diều - 19 Đề có lời giải - DeThiHay.net
d)[NB] Mặt cầu S đường kính AB có phương trình là x 1 2 y 3 2 z 3 2 45
 Lời giải
a) S b) S c) S d) Đ
  
a) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương u AB 4;10; 8 , đường thẳng có vectơ chỉ phương 
 
u ' 2; 3;4 .
  
 Ta có u.u ' 70 0 nên đường thẳng AB và đường thẳng không vuông góc với nhau. Do đó, a) sai;
  
b) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương u AB 4;10; 8 , mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 
 4 .1 10. 2 8 .3 4 70
nên sin AB, P cos u,n , suy ra đường thẳng AB và mặt 
 4 2 102 8 2 . 12 2 2 32 35
phẳng P tạo với nhau góc 730 (làm tròn đến độ). Do đó, b) sai;
c) Mặt cầu S đường kính AB có tâm I( 1;3;3) là trung điểm của AB và đi qua điểm A 1; 2;7 , khi đó bán 
kính của mặt cầu S là: R IA (1 1)2 ( 2 3)2 (7 3)2 3 5 . Do đó, c) sai;
d) Mặt cầu S đường kính AB có tâm I( 1;3;3) là trung điểm của AB và đi qua điểm A 1; 2;7 , khi đó bán 
kính của mặt cầu S là: R IA (1 1)2 ( 2 3)2 (7 3)2 3 5 nên S AB có phương trình là 
 x 1 2 y 3 2 z 3 2 45 . Do đó, d) đúng.
Câu 2: Một kho hàng chứa 85% sản phẩm loại I và 15% sản phẩm loại II, trong đó có 1% sản phẩm loại I bị 
hỏng, 4% sản phẩm loại II bị hỏng. Các sản phẩm có kích thước và hình dạng như nhau. Một khách hàng chọn 
ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Xét các biến cố:
 A:“Khách hàng chọn được sản phẩm loại I”;
B :“Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng”;
a) P A 0,85 b) P B | A 0,99 . c) P B 0,9855 . d) P A | B 0,95 .
 Lời giải
 a) Đ b) Đ c) Đ d) S
a) Ta có P A 0,85 và P A 0,15 . Do đó, a) đúng ;
b) Vì có 1% sản phẩm loại I bị hỏng nên P B | A 0,01, suy ra P B | A 1 P B | A 1 0,01 0,99 Do đó, 
b) đúng ;
c) Vì có 4% sản phẩm loại II bị hỏng nên P B | A 0,04 , suy ra P B | A 1 P B | A 1 0,04 0,96 .
Theo công thức xác suất toàn phần ta có
P B P A .P B | A P A .P B | A 0,85.0,99 0,15.0,96 0,9855 . Do đó, c) đúng ;
 P A .P B | A 0,85.0,99
d) Theo công thức Bayes ta có P A | B 0,854 . Do đó, d) sai ;
 P B 0,9855
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
 DeThiHay.net Bộ đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 Cánh Diều - 19 Đề có lời giải - DeThiHay.net
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;1;1 , mặt phẳng P : x z 1 0 và đường thẳng 
 x 1 t
 d : y 2 . Gọi d1;d2 là các đường thẳng đi qua A , nằm trong P và đều có khoảng cách đến đường thẳng 
 z 2 t
 a
d bằng 6 . Côsin của góc giữa d và d bằng . Tính giá trị a b
 1 2 b
 Lời giải
Đáp án: a b 4
 d
 H
 d2 M
 P) d A
 1 K
* Ta có: nP 1;0; 1 , ud 1;0;1 d  P và d  P M 0;2; 1 
  
 MA 2; 1;2 MA 3
* Gọi H; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên d1 và d2 , ta có
d d1;d d M ;d1 MH, d d2 ;d d M ;d2 MK MH MK 6
 HM 6
 sin M· AK sin M· AH 
 AM 3
 4 1
 cos d ;d cos 2.M· AH 1 2sin2 M· AH 1 . Vậy, a 1,b 3 nên a b 4
 1 2 3 3
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A 2;4; 1 , B 1;4; 1 , C 2;4;3 , D 2;2; 1 , 
biết M x; y; z để MA2 MB2 MC 2 MD2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z bằng bao nhiêu? (Lấy giá trị gần 
đúng làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Đáp số: 5,25
 Lời giải
     7 7 
Xét điểm I a;b;c thỏa mãn IA IB IC ID 0 . Khi đó I ; ;0 .
 4 2 
Ta có 
   2   2   2   2
MA2 MB2 MC 2 MD2 MI IA MI IB MI IC MI ID 
      
 4MI 2 2MI IA IB IC ID IA2 IB2 IC 2 ID2
 4MI 2 IA2 IB2 IC 2 ID2 IA2 IB2 IC 2 ID2 ( vì MI 2 0 với mọi điểm M )
 7 7 7 7
Dấu " " xảy ra M  I tức là M ; ;0 x y z 5,25
 4 2 4 2
Câu 3: Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. 
Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi 
xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai (Làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).
 DeThiHay.net Bộ đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 Cánh Diều - 19 Đề có lời giải - DeThiHay.net
Đáp số: 0,41
 Lời giải
Gọi A là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”.
 Gọi B là biến cố: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”. 
ta cần tính xác suất P(A B) .
 Theo công thức nhân xác suất: P(AB) P(A).P(B A).
 30 3
Vì có 30 viên bi xanh trong tổng số 50 viên bi nên P(A) .
 50 5
Nếu A đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 49 viên bi trong đó 
 20
số viên bi trắng là 20 , do đó P(B A) .
 49
 3 20 12
Vậy xác suất cần tìm là: P(A B) P(A).P(B A) . ; 0,41.
 5 49 29
Câu 4: Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu cam, còn lại là kẹo 
màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo 
 1
khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là . Hỏi ban đầu trong túi có bao 
 3
nhiêu viên kẹo?
Đáp số: 10
 Lời giải
Gọi A là biến cố “Hà lấy được viên kẹo màu cam ở lần thứ nhất”
Gọi B là biến cố “Hà lấy được viên kẹo màu cam ở lần thứ hai”
 1 1
Ta có: xác suất Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là , suy ra P AB 
 3 3
 6 5
Gọi n là số viên kẹo ban đầu trong túi n ¥ ,n 1 P A ; P B A 
 n n 1
 6 5 30 1
Theo công thức nhân xác suất, ta có: P AB P A  P B A  2 
 n n 1 n n 3
 2 2 n 9
 n n 90 n n 90 0 .
 n 10
Ta được n 9 (loại) hoặc n 10 (nhận).
PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3 ( Mỗi câu 1 điểm).
 Câu NỘI DUNG Điểm
 Một khối bê tông cao 2m được đặt trên mặt đất phẳng. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng 
 nằm ngang, cách mặt đất x( m)(0 x 2) 
 thì được mặt cắt là hình chữ nhật có chiều dài 5x( m) , chiều rộng (0,5)x ( m) (Hình).
 1
[TH]
 DeThiHay.net Bộ đề thi cuối học kì 2 môn Toán lớp 12 Cánh Diều - 19 Đề có lời giải - DeThiHay.net
 Tính thể tích của khối bê tông (đơn vị: mét khối, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
 Chọn trục Ox thẳng đứng, gốc O nằm trên mặt đáy của khối bê tông, chiều dương 
 hướng lên trên (Hình). 
 0,25
 Khi đó, khối bê tông nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng vuông góc với 0,25
 Ox lần lượt tại các điểm x 0 và x 2 .
 Mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x(0 x 2) cắt khối bê tông theo 0,25
 mặt cắt có diện tích là S(x) 5(0,5)x m2 .
 S(x) 5(0,5)x m2 . Do đó, thể tích của khối bê tông là 0,25
 2
 2 2 x x
 1 5 1 5 1 15 3
 V S(x)dx 5 dx  1 5,41 m .
 2 1 2 ln 2 4 4ln 2
 0 0 ln 
 2 0
 Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và 
 tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà 
 của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền 
 nhà là 17cm,18cm,21cm (tham khảo 
 hình minh họa). Hỏi độ dài đương kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm biết rằng quả bóng rổ tiêu 
 chuẩn có đường kính từ 23cm đến 
 24,5cm ? Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân.
 2
[VD]
 Ta đặt hệ trục vào căn phòng sao cho có hai bức tường là mặt Oxz , Oyz , và nền là 0,25
 Oxy .
 DeThiHay.net