Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (52 Đề kèm lời giải)

 Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (52 Đề kốm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 4
PHềNG GD & ĐT NGA SƠN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 
CỤM AN-PHÚ-THÁI-ĐIỀN NĂM HỌC 2024- 2025
 Mụn: Toỏn 7
 (Đề thi gồm cú 02 trang) Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1. ( 4,0 điểm)
1) Thực hiện phộp tớnh:
 212.35 46.92 510.73 255.492 7 7 7 7 
a) . b) 1 1 1 ... 1 
 (22.3)6 84.35 (125.7)3 59.143 9 20 33 2900 
 2b c a 2c b a 2a b c
2) Cho a,b,c 0 và dóy tỉ số: .
 a b c
 3a 2b 3b 2c 3c 2a 
Tớnh: P 
 3a c 3b a 3c b 
Cõu 2. (4,0 điểm)
1) Tỡm x biết: x 2 2x 3 x 2
2) Viết ngẫu nhiờn một số tự nhiờn cú hai chữ số lớn hơn 40. Tỡm số phần tử của tập hợp M 
gồm cỏc kết quả cú thể xảy ra đối với số tự nhiờn được viết ra. Sau đú, hóy tớnh xỏc suất của 
mỗi biến cố sau:
a) Số tự nhiờn được viết ra cú tổng cỏc chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9.
b) Số tự nhiờn được viết ra là tổng của hai số tự nhiờn liờn tiếp.
Cõu 3. (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu p là tớch của n số nguyờn tố đầu tiờn thỡ p - 1 và p + 1 khụng thể là 
cỏc số chớnh phương
b) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x;y) thỏa món: 2xy + 6x2 – y – 3x = 7
Cõu 4. (1,5 điểm) Một ngụi nhà cú cỏc kớch thước như hỡnh vẽ. Tớnh thể tớch phần khụng 
gian được giới hạn bởi ngụi nhà.
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (52 Đề kốm lời giải) - DeThiHay.net
Cõu 5. (5,0 điểm) Cho △ABC vuụng tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của cạnh BC, 
lấy điểm D thuộc tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Kẻ BI vuụng gúc với AD tại I, CK 
vuụng gúc với AD tại K.
a) Chứng minh rằng BI = CK.
b) Kẻ AH vuụng gúc với BC tại H, MN vuụng gúc với BD tại N. Chứng minh rằng cỏc 
đường thẳng CK, AH, MN đồng quy.
c) Chứng minh rằng BC – AB > AC – AH.
Cõu 6. (1,5 điểm)
Chứng minh rằng trong 27 số tự nhiờn tựy ý luụn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của 
chỳng chia hết cho 50.
 ----------HẾT----------
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (52 Đề kốm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
Cõu ý Nội dung Điểm
 212.35 46.92 510.73 255.492
 a) Ta cú: 
 (22.3)6 84.35 (125.7)3 59.143
 0,25
 212.35 212.34 510.73 510.74
 = 
 212.36 212.35 59.73 59.73.23
 212.34 3 1 510.73 1 7 
 0,5
 212.35 3 1 59.73 1 8
 1 
 1 5. 6 21 7
 (2đ) 
 6 9 6 2 0,25
 7 7 7 7 16 27 40 2907
 b) 1 1 1 ... 1 . . ...
 9 20 33 2900 9 20 33 2900 0,25
 2.8.3.9.4.10...51.57 2.3.4...51 8.9.10...57
 .
 1.9.2.10.3.11...50.58 1.2.3...50 9.10.11...58 0,5
 51.8 204
 58 29 0,25
 1 Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau , ta cú:
 2b c a 2c b a 2a b c
 a b c
 2b c a 2c b a 2a b c 
 a b c 0,5
 2 a b c 
 2
 a b c
 2 Vỡ a,b,c 0 a b c 0 
 0,5
 (2đ) 2b c 3a 3a 2b c
 2c a 3b 3b 2c a 
 2a b 3c 3c 2a b
 0,5
 3a c 2b
 và 3b a 2c
 3c b 2a
 0,5
 1
 Thay vào biều thức P, ta được: P 
 8
 x 2 2x 3 x 2 ( 1)
 1
 Lập bảng xột dấu ta cú:
 (2đ)
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (52 Đề kốm lời giải) - DeThiHay.net
 x - 3/2 2 0,5
 x-2 - / - 0 + 
 2x+3 - 0 + / + 
 Khi đú ta cú: 
 3
 TH1: x . Khi đú (1) trở thành
 2
 2 x 2x 3 x 2 0x 7 . 
 Khụng tỡm được x thỏa món
 3 0,5
 TH2:. x 2 . Khi đú (1) trở thành 
 2
 1
 2 x 2x 3 x 2 4x 1 x ( TM)
 4
 TH3: x 2. Khi đú (1) trở thành 0,5
 3
 x 2 2x 3 x 2 2x 3 x . (Khụng thỏa món)
2 2
 Vậy x = ẳ 0,5
 Tập hợp M gồm cỏc kết quả cú thể xảy ra đối với số tự nhiờn cú hai 
 chữ số lớn hơn 40 được viết ra là: M = {41, 42, 43,..., 98, 99}. 0,5
 Số cỏc phần tử của tập hợp M là 99 – 41 + 1 = 59.
 a) Trong cỏc số 41, 42, 43,..., 98, 99, cú 6 số cú tổng cỏc chữ số hàng 0,25
 chục và hàng đơn vị bằng 9: 45, 54, 63, 72, 81, 90.
 Vậy cú 6 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số tự nhiờn được viết ra cú 
 tổng cỏc chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9” là: 45, 54, 63, 72, 
 81, 90 (lấy ra từ tập hợp M = {41, 42, 43,..., 98, 99}). 0,25
 2
 Do đú, xỏc xuất của biến cố “Số tự nhiờn được viết ra cú tổng cỏc chữ 
 (2đ)
 6
 số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9” là: 
 59 0,25
 b) Ta cú: 20 + 21 = 41; 21 + 22 = 43; 22 + 23 = 45; ; 44 + 45 = 99.
 0,25
 Do đú, cỏc kết quả thuận lợi cho biến cố “Số tự nhiờn được viết ra là 
 tổng của hai số tự nhiờn liờn tiếp” là: 41; 43; 45; ; 99.
 0,25
 Số cỏc kết quả thuận lợi của biến cố đú là: (99 – 41) : 2 + 1 = 30 (kết 
 30
 quả). Vỡ thế xỏc suất của biến cố đú là: 0,25
 59
 Vỡ p là tớch của n số nguyờn tố đầu tiờn nờn p2 và p khụng thể chia 0,25
 a) hết cho 4 (1)
 (2đ) - Giả sử p+1 là số chớnh phương, Đặt p 1 m2 m N 0,5
 0,25
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (52 Đề kốm lời giải) - DeThiHay.net
 Vỡ p chẵn nờn p 1 lẻ m2 lẻ => m lẻ
 Đặt m 2k 1 k N , Ta cú: 0,25
 m2 4k2 4k 1 p 1 4k2 4k 1 p 4k2 4k 4k k 1 Mẫu 
 0,25
 thuẫn với (1) => p+1 khụng thể là số chớnh phương
 - Giả sử p 2.3.5.... là  3 p 1 cú dạng 3k+2 p 1 khụng là số 0,25
 chớnh phương
 Vậy nếu p là tớch của n n 1 số nguyờn tố đầu tiờn thỡ p – 1 và p + 1 0,25
3 khụng là số chớnh phương
 2xy 6x2 y 3x 7
 2x 1 y 3x 2x 1 7
 2x 1 y 3x 7 0,5
 Vỡ x,y  nờn 2x 1,y 3x  
 Mà 7 1.7 1 . 7 nờn ta cú bảng
 b 0,5
 (2đ) 2x-1 1 7 -1 -7
 y+3x 7 1 -7 -1
 x 1 4 0 -3 0,5
 y 4 -11 -7 8
 (tm) (tm) (tm) (tm)
 Vậy x; y 1;4 ; 4; 11 ; 0; 7 ; 3;8 . 0,5
 Diện tớch mặt đỏy của ngụi nhà là:
 0,5
 1
 S = .7.15 +8.15 = 172,5(m2)
4 d 2
 1,5đ Thể tớch khụng gian giới hạn bởi ngụi nhà là 0,5
 V 172,5.20 3450(m3)
 0,5
 Vậy thể tớch khụng gian giới hạn bởi ngụi nhà là 3450m3
 A C
 I
 M
 K
 H
 B N D
 O
 a Xột D IBM và D KCM cú: 0,5
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (52 Đề kốm lời giải) - DeThiHay.net
 1,5đ Bã IM Cã KM 90 
 0,5
 BM MC (Vỡ M là trung điểm của BC)
 Bã MI Cã MK (2 gúc đối đỉnh )
 0,5
 D IBM D KCM (cạnh huyền – gúc nhọn)
 BI CK (2 cạnh tương ứng).
 Xột D AMC và D DMB cú
 MC MB (Vỡ M là trung điểm của BC )
 Cã MA Bã MD (2 gúc đối đỉnh) 0,5
 MA MD (gt)
 D AMC D DMB (c-g-c)
 Mã AC Mã DB (2 gúc tương ứng) AC//BD 0,5
 b Gọi giao điểm của AH và CK là O . 
 (2đ) Xột D ACO cú: AK và CH là cỏc đường cao, mà chỳng cắt nhau ở 
 M
 M là trực tõm của D ACO OM  AC 1 . 0,5
 Mặt khỏc cú MN  BD (gt) màBD//AC (cmt) MN  AC 2 .Từ 1 
5
 và 2 O,M,N thẳng hàng. 0,5
 Vậy ba đường CK, AH,MN đồng quy tại O
 E
 A C
 2
 1
 0,25
 F 0,25
 H
 B
 Trờn BC lấy điểm F sao cho BF AB . 
 c Thỡ CF BC BF BC – AB (3) 0,25
 1,5đ Trờn AC lấy điểm E sao cho AE AH
 Thỡ CE AC – AE AC – AH (4)
 ã ả O
 Ta cú BAF A2 90 (tam giỏc ABC vuụng tại A) 0,25
 ã à O
 AFB A1 90 (tam giỏc AHF vuụng tại H )
 ã ã à ả 0,25
 Mà BAF BFA (tam giỏc ABF cõn tại B ). Nờn A1 A2
 Dễ thấy AHF AEF ( c-g-c) 0,25
 ãAHF ãAEF 900
 Suy ra tam giỏc EFC vuụng tại E nờn FC EC (5)
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (52 Đề kốm lời giải) - DeThiHay.net
 Từ (3), (4), (5) BC – AB AC – AH (đpcm).
 - Tất cả cỏc số dư trong phộp chia cho 50 được chia thành 26 nhúm 
 0,5
 sau: (0); (1; 49); (2; 48); .....; (24; 26); (25).
 - Lấy 27 số tự nhiờn chia cho 50 nhận được 27 số dư, 27 số dư này sẽ 
 thuộc vào 26 nhúm trờn. 
6 1,5đ 0,5
 - Theo nguyờn lý Dirichle tồn tại ớt nhất hai số dư thuộc vào 1 nhúm, 
 tức là tồn tại 2 số cú tổng số dư trong phộp chia cho 50 bằng 50 hoặc 
 hiệu số dư trong phộp chia cho 50 bằng 0 => Hai số này cú tổng hoặc 
 0,5
 hiệu chia hết cho 50.
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (52 Đề kốm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 5
 UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2024 - 2025
 Mụn: TOÁN - LỚP 7
 (Đề này gồm 05 cõu, 01 trang) Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1. (1,0 điểm)
 12 12 12 12 5 5 5 5 10
 7 289 85 13 169 91
1) B = 81. 4 4 4 : 6 6 6 .
 4 6 34
 7 289 85 13 169 91
 1 31 1 17 1 1 1 1 1
2) A = . 9 ― ― 4 + + + + +  +
 31 5 2 2 5 2 6 12 930
 2025
Cõu 2. (2,0 điểm) 1) Với x 0 và x, y thỏa món 8 x2 81 3 y 1 0
2) Cho n là số tự nhiờn cú 2 chữ số. Tỡm n biết n + 4 và 2n là số chớnh phương.
Cõu 3. (3,0 điểm)
 a a a a
1) Cho dóy tỉ số bằng nhau: 1 2 ... 2024 2025 (giả sử cỏc tỉ số đó cho đều cú nghĩa)
 a2 a3 a2025 a1
 2
 a1 a2 ... a2025 
Tớnh giỏ trị biểu thức B 2 2 2 2 .
 a1 a2 a3 ... a2025
1) Cho đa thức bậc hai: A (x) = ax2 + bx + c (x là ẩn; a, b, c là hệ số)
a) Tỡm a, b, c biết rằng: A (0) = 2024; A (1) = 2025 ; A (-1) = 2027 
b) Cho đa thức B (x) = – 2x3 – 1 
Tỡm đa thức C (x), biết rằng: A (x). B (x) – C (x) = – 4x5 + 2x4 – 2x3.
2) Viết ngẫu nhiờn một số tự nhiờn cú 2 chữ số lớn hơn 40. Tớnh xỏc suất của cỏc biến cố sau:
a) A: “Số tự nhiờn được viết ra là số chia hết cho 7”
b) B: “Số tự nhiờn được viết ra cú tổng cỏc chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9”.
Cõu 4. (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Lấy điểm D nằm giữa hai điểm B và C sao 
 1
cho CD < CB. Trờn tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = CD. Cỏc đường thẳng 
 2
vuụng gúc với BC kẻ từ D và E cắt cỏc đường thẳng AC và AB lần lượt ở K và F. 
a) Chứng minh rằng: CK = BF.
b) Đường thẳng BC cắt FK tại điểm I. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng FK và 
EK//FD.
c) Qua I kẻ đường thẳng vuụng gúc với FK cắt đường cao AH của △ABC (H∈ BC) tại O. 
Chứng minh: AH > AB – OH.
Cõu 5. (1,0 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
M = (7x – 5y)2010 + (2z – 3x)2020 + (xy + yz + zx – 2000)2030 + 2025
 ----------HẾT----------
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (52 Đề kốm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
Cõu í Nội dung Điểm
 12 12 12 5 5 5 
 12 5 
 10
 B 81. 7 289 85 : 13 169 91 .
 4 4 4 6 6 6 4
 4 6 3 0,25
 7 289 85 13 169 91 
 1 1 1 1 1 1 1 
 12. 1 5. 1 
 7 289 85 13 169 91 10
 (0,5đ) B 81. : .
 1 1 1 1 1 1 34
 4. 1 6. 1 
 7 289 85 13 169 91 
 0,25
 12 5 10
 B 81. : . 36
 4 6 81
 1 1 31 1 17 1 
 Xet M 9 4 
(1,0đ) 31 5 2 2 5 
 1 31 17 17 21 
 . . 
 31 5 2 2 5 0,25
 17 31 21 17
 2 31 10 31
 (0,5đ) 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Xet N ... ... 
 2 6 12 930 2 2.3 3.4 30.31 
 1 1 1 1 1 1 1 1 30 0,25
 ... 1 
 2 2 3 3 4 30 31 31 31
 17 30 47
 A M N 
 31 31 31
 Ta cú: 8 x2 81 0 với mọi x; 3 y 1 2025 0 với mọi y
 2025 0,25
 Nờn để 8 x2 81 3 y 1 0 
 1 2 2025
 Thỡ x 81 0 và y 1 0 0,5
 (1,0đ)
 Giải ra x 9 và y = -1
 2 Đối chiếu điều kiện x 0 , loại x = -9 0,25
(2,0đ) Vậy x = 9 và y = -1
 Vỡ n là số tự nhiờn cú hai chữ số => 9 < n < 100
 18 2n 200 0,25
 2 Mà 2n là số chớnh phương chẵn 2n 36;64;100;144;196 0,25
 (1,0đ) 0,25
 n 18;32;50;72;98
  0,25
 Mà n + 4 là số chớnh phương => n = 32. Vậy n = 32
 Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau, ta cú : 0,25
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (52 Đề kốm lời giải) - DeThiHay.net
 a1 a2 a2024 a2025 a1 a2 ... a2024 a2025
 ... 1 0,25
 a2 a3 a2025 a1 a2 a3 ... a2025 a1
 1
 Suy ra : a a ... a a
 (1,0đ) 1 2 2014 2025 0,25
 2 2 2
 a1 a1 ... a1 2025 a1
 Do đú B 2 2 2 2 2025
 a1 a1 ... a1 2025.a1
 Vậy B = 2025
 a) A 0 2024 suy ra c 2024
 A 1 2025 suy ra a b 1 0,25
 A 1 2027suy ra a b 3
 a 2
 0,25
3 2 b 1
 (1,0đ) c 2024
 b) A x 2x 2 x 2024 0,25
 A x .B x C x 4x5 2x 4 2x 2
 C x 2x 2 x 2024 . 2x3 1 4x5 2x 4 2x 2
 0,25
 C x 4048x3 x 2024
 a) Số kết quả cú thể xảy ra là: 59 
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 0,25
 91; 98. 
 3 9 0,25
 Cú 9 kết quả. Xỏc suất của biến cố A là: 
 (1,0đ) 59
 b) Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 45; 54; 63; 72; 81; 90
 0,25
 6
 Cú 6 kết quả. Xỏc suất của biến cố B là: 0,25
 59
 0,25
4
 Ta cú: = ( ABC cõn tại A) (1) 0,25
 a
 = 퐹 (Hai gúc đối đỉnh) (2)
 (1,0đ)
 DeThiHay.net