26 Đề thi và Đáp án chuyên Toán vào 10 các tỉnh năm học 2025-2026

 26 Đề thi và Đáp án chuyên Toán vào 10 các tỉnh năm học 2025-2026 - DeThiHay.net
 푆 + 푆 푆 + 푆 푆 + 푆 
 + + = + +
 푃 푄 푆 푆 푆
 2(푆 + 푆 + 푆 ) 2.푆
= = = 2
 푆 푆
Vậy mà OA = OB = OC = R (bán kính)
 푃 + 푄 + = 2
 1 1 1 2
nên 
 푃 + 푄 + = 푅
 1 1 1 2
Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có: ( 푃 + 푄 + ) 1 + 1 + 1 ≥ 9 mà + + =
 푃 푄 푃 푄 푅
 2 9R
nên 푃 + 푄 + ≥ 9: 1 + 1 + 1 = 9: =
 푃 푄 푅 2
 9푅 9푅
Vậy 
 푃 + 푄 + ≥ 2 ⇒Min( 푃 + 푄 + ) = 2
Dấu bằng đạt được khi AP = BQ = CT hay △ đều
Câu 4. (2,0 điểm)
Phương trình đã cho trở thành 2 ― + 2 ―( + ) = 3 ⇒( + )2 ―3 ―( + ) = 3
 1
Do 2 nên 2 2 
 ≤ 4( + ) 12 ≥ 4( + ) ―3( + ) ―4( + )
⇒( + )2 ― 4( + ) ― 12 ≤ 0
hay ( + ―6)( + +2) ≤ 0 do x > 0; y > 0 => 0 < x + y ≤ 6
Với x,y nguyên dương khi 0 < x + y ≤ 6 ta xét:
1) x + y = 2 => x = y = 1
Thay vào (I) ta thấy không thoả mãn.
 = 2 = 1
2) + = 3⇒ = 1; = 2
Thay vào (I) ta thấy không thoả mãn.
 = 3 = 1 = 2
4) + = 4⇒ = 1; = 3; = 2
Thay vào (I) ta thấy các cặp (3; 1), (1; 3) thoả mãn.
 = 3 = 2 = 4 = 1
5) + = 5⇒ = 2; = 3; = 1 ; = 4
Thay vào (I) ta thấy tất cả các cặp đều không thoả mãn.
 = 3 = 1 = 5 = 2 = 4
6) + = 6⇒ = 3; = 5; = 1; = 4; = 2
Thay vào (I) ta thấy chỉ cặp (3; 3) thoả mãn.
Tóm lại phương trình có 3 nghiệm dương: (3; 1), (1; 3) và (3; 3).
Câu 5 (2,0 điểm)
a) Gọi cách đánh 15 thẻ đã cho là:
 Xanh X1 X2 X3 X4 X5 X6
 Đỏ Đ1 Đ2 Đ3 Đ4 Đ5
 Vàng V 1 V 2 V 3 V 4
Khi lượt 1 chọn được thẻ X1, có 14 cách chọn thẻ ở lượt 2.
Khi lượt 1 chọn được thẻ X2, có 14 cách chọn thẻ ở lượt 2.
 DeThiHay.net 26 Đề thi và Đáp án chuyên Toán vào 10 các tỉnh năm học 2025-2026 - DeThiHay.net
 15.14
Số cách chọn 2 thẻ khác màu, là: 
 2 = 105
Chọn 2 thẻ theo màu Xanh-Đỏ, ta có: 6.5 = 30 cách
Chọn 2 thẻ theo màu Xanh-Vàng, ta có: 6.4 = 24 cách
Chọn 2 thẻ theo màu Vàng-Đỏ, ta có: 4.5 = 20 cách
Tổng số cách chọn 2 thẻ có hai màu khác nhau, là: 30 + 24 + 20 = 74
Số cách chọn 2 thẻ theo màu Xanh-Đỏ cùng số, là 5 (cặp X1-Đ1;... ; X5-Đ5)
Số cách chọn 2 thẻ theo màu Xanh-Vàng cùng số, là 4 (cặp X1-V1;... ; X4-V4)
Số cách chọn 2 thẻ theo màu Vàng-Đỏ cùng số, là 4 (cặp Đ1-V1;...; Đ4-V4)
Tổng số cách chọn 2 thẻ khác màu và cùng số là: 5 + 4 + 4 = 13 
Số cách chọn 2 thẻ khác số và khác màu là: 74 – 13 = 61 cách
b) Gọi khối lượng mỗi loại nguyên liệu A và B lần lượt là x, y (kg; 500 > x > 0; 500 > y > 0)
Vì cần trộn để được 500 kg phân bón hỗn hợp nên ta có: x + y = 500
Hàm lượng potassium có trong nguyên liệu loại A là x.24%
Hàm lượng potassium có trong nguyên liệu loại B là y.40%
Vì hàm lượng potassium có trong 500 kg là 30%. Do đó khối lượng potassium là: 500.30 % = 150 kg
Ta có phương trình: x.24% + y.40% = 150 
 + = 500
Xét hệ phương trình: 0,24 + 0,4 = 150
 + = 500 3 + 3 = 1500 3 + 3 = 1500
 3 + 5 = 1875 nên 3 + 5 = 1875 hay 2 = 375
 = 312,5
Ta được = 187,5
Ta thấy x = 312,5 và y = 187,5 đều thoả mãn
Vậy để pha trộn được theo yêu cầu, ta cần 312,5 kg nguyên liệu loại A và 187,5 kg nguyên liệu loại B.
 DeThiHay.net 26 Đề thi và Đáp án chuyên Toán vào 10 các tỉnh năm học 2025-2026 - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 4
 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 NĂM HỌC: 2025-2026
 ĐÀ NẴNG
 Môn thi: TOÁN
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 x 1 x 4 x 14 x 4 x 
Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A .(x 2 x)
 x 3 x 2 x x 6 x 3 x 
với x 0, x 1, x 4. Rút gọn biểu thức A, tính giá trị A khi x là tổng của 45 số tự nhiên lẻ đầu tiên.
Bài 2. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(5;0), B(5;5), C(0;5), với O là gốc tọa độ. 
Bạn An chọn ngẫu nhiên một điểm M có hoành độ và tung độ là các số nguyên, nằm trên các cạnh hoặc 
nằm trong hình vuông OABC.
a) Mô tả không gian mẫu của phép thử trên. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử? 
b) Tính xác suất của biến cố A:“Bạn An chọn được điểm M sao cho diện tích hình vuông OABC nhỏ hơn 
5 lần diện tích tam giác OAM".
Bài 3. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 3(4x2 1) x(2 3 x2 3x 1).
b) Trong một đợt thử nghiệm giải toán bằng phần mềm trí tuệ nhân tạo (AI), tổng số câu hỏi mà hai phần 
mềm C và D phải trả lời là 200 câu hỏi. Kết quả cho thấy: phần mềm C trả lời đúng 90 câu, phần mềm D 
trả lời đúng 85 câu và tỉ lệ trả lời đúng của phần mềm C cao hơn 5% so với tỉ lệ trả lời đúng của phần mềm 
D. Tính số câu hỏi mà mỗi phần mềm đã trả lời.
Bài 4. (1,5 điểm)
a) Cho phương trình 4x2 8(m 1)x 2m 9 0 với m là tham số. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m 
thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa măn: 
 2 x1 x2 3(1 2x1)(1 2x2 ) 8 3.
b) Xét các số nguyên x, y, z và số nguyên dương n thỏa mãn: 2x2 10xy 13y2 29n z . Chứng minh rằng 
luôn biểu diễn được z dưới dạng tổng hai bình phương của hai số nguyên.
Bài 5. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao AD, BE, 
CF cắt nhau tại H. Hai tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại M. Các đường thằng EF và MB cắt nhau 
tại N. Gọi K là trung điểm BC. Chứng mình rằng: 
a) Đường thắng BN song song với đường thẳng DF.
b) Ba đường thẳng DE, KN, HM đồng quy.
Bài 6. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (1). Các tia 
AI, BI và CI lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là D, E và F.
a) Chứng minh rằng đường thẳng EF là đường trung trực của đoạn thẳng AI. 
 DeThiHay.net 26 Đề thi và Đáp án chuyên Toán vào 10 các tỉnh năm học 2025-2026 - DeThiHay.net
b) Đường thẳng AB cắt các cạnh FE và FD lần lượt tại G và H, đường thẳng BC cắt các canh DF và DE 
lần lượt tại M và N, đường thẳng CA cắt các cạnh ED và EF lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng 
 AB BC CA GH MN PQ.
 -----HẾT-----
 DeThiHay.net 26 Đề thi và Đáp án chuyên Toán vào 10 các tỉnh năm học 2025-2026 - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
Bài 1. 
Với x 0, x 1, x 4. Ta có: 
 x 1 x 4 x 14 x 4 x 
A .(x 2 x)
 x 3 x 2 x x 6 x 3 x 
 ( x 1)( x 1) x 4 x 14 x( x 4) 
 .(x 2 x)
 ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) x( x 3) 
 x 1 x 4 x 14 x 4 
 .(x 2 x)
 x 2 ( x 2)( x 3) x 3 
 ( x 1)( x 3) (x 4 x 14) ( x 2)( x 4) 
 . x( x 2)
 ( x 2)( x 3) 
 x 2 x 3 ( x 3)( x 1)
 . x . x x x.
 x 3 x 3
Do đó A x x , với x 0, x 1, x 4.
Với x 1 3 ... 43 45 suy ra 2x (1 45) (3 43)... (43 3) (45 1) 23.46 x 232.
Vậy giá trị của A khi x 232 là A 232 232 506.
Câu 2.
a) Không gian mẫu của phép thử  (x, y) 2 : 0 x 5,0 y 5.
Với điểm A(x,y) nằm trên hoặc trong hình vuông OABC, với 0 x 5,0 y 5 .
Khi đó x có 6 khả năng, y có 6 khả năng. 
Như vậy có tất cả 36 điểm có tọa độ nguyên nằm trên hoặc trong hình vuông OABC.
Vậy số phần tử của không gian mẫu Ω là 36.
b) Ta có diện tích của hình vuông OABC là 25 (đvdt).
Giả sử điểm M(x,y) thuộc tập Ω sao cho 5SOAM 25 hay SOAM 5.
 1 5y
Mà S y.OM (đvdt) suy ra S 5 y 2. Như vậy y 3,4,5.
 OAM 2 2 OAM
Suy ra các điểm M (x,3),M (x,4) hoặc M (x,5) với 0 x 5 thỏa mãn 5SOAM 25
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A:”Bạn An chọn được điểm M sao cho diện tích của hình vuông 
OABC nhỏ hơn 5 lần diện tích của tam giác OAM” là 18. 
 18 1
Vậy xác suất của biến cố A là: . 
 36 2
Câu 3. 
a) Ta dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.
Ta có phương trình ban đầu tương đương A. (1)
Xét x khác 0, ta nhân hai vế của (*) với x thì 12x3 x2 3x 2x2 3 x2 3x. (2). 
 DeThiHay.net 26 Đề thi và Đáp án chuyên Toán vào 10 các tỉnh năm học 2025-2026 - DeThiHay.net
Đặt a 3 x2 3x. Khi đó phương trình (2) tương đương: 
12x3 2x2a a3 0 (2x a)(6x2 2ax a2 ) 0.
Vì 6x2 2ax a2 5x2 (x a)2 0 nên 2x a 3 x2 3x.(3)
Ta lập phương hai vế của phương trình (3) thì 8x3 x2 3x x(8x2 x 3) 0.
 1 97
Suy ra 8x2 x 3 0 x .
 16
 1 97
Thử lại x vào phương trình ban đầu thì thỏa mãn. 
 16
 1 97 1 97 
Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là , .
 16 16  
b) Gọi số câu hỏi mà phần mền C, D đã trả lời lần lượt là: x, y trong đó 90 x 200;85 y 200.
Vì tổng số câu hỏi mà hai phần mềm C, D phải trả lời là 200 nên x y 200.
 90 85
Ta có tỉ lệ trả lời đúng của phần mềm C, D lần lượt là .100 và .100 (%)
 x x
 90 85 9000 8500
Theo giả thiết thì .100 100 5 5.
 x y x 200 x
 9000(200 x) 8500x
Do đó 5 1800000 17500x 5x2 1000x
 x(200 x)
Hay 5x2 18500x 1800000 0 (x 100)(x 3600) 0.
Kết hợp với điều kiện thì suy ra x = 100 kéo theo y = 100.
Vậy số câu hỏi mà phần mềm C, D đã trả lời lần lượt là: 100 và 100.
Câu 4. 
a) Ta kí hiệu phương trình 4x2 8(m 1)x 2m 9 0 (1). 
Xét ' (4(m 1))2 4( 2m 9) 4m2 16m 40 (2m 4)2 24 0.
Như vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
 x x 2m 2
 1 2
Khi đó theo định lý Viete thì ta có: 2m 9 .
 x x 
 1 2 4
Ta có: 
 3(1 2x1)(1 2x2 ) 8 3 3(9 2(x1 x2 ) 4x1x2 )
 3(9 2(2m 2) 2m 9) 2 3(m 2).
 2 2 2 2
Và (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 (2m 2) 2m 9 4m 10m 13 0.
Từ việc chứng minh 2 x1 x2 3(1 2x1)(1 2x2 ) 8 3. Ta đưa về chứng minh 
2 4m2 10m 13 2 3(m 2),m hay 4m2 10m 13 3(m 2),m. (*)
- Nếu m 2 thì 2 4m2 10m 13 0 2 3(m 2). 
 DeThiHay.net 26 Đề thi và Đáp án chuyên Toán vào 10 các tỉnh năm học 2025-2026 - DeThiHay.net
- Nếu m 2 thì 4m2 10m 13 3(m 2)2 (m 1)2 3(m 2)2 3(m 2). 
Vậy với mọi m thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 
2 x1 x2 3(1 2x1)(1 2x2 ) 8 3.
 n 2 2 2 2 2 2
b) Đặt an x 2y,bn x 3y , ta có: 29 z 2x 10xy 13y (x 2y) (x 3y) an bn .
 2 2
Suy ra 29 | an bn . Ta có: 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
an bn (an bn )(2 5 ) 2an 5bn 5an 2bn 2an 5bn 5an 2bn 
 2 .
 29 29 29 29 29 29 
 2 2 2 2 2
Ta có: (2an 5bn )(2an 5bn ) 4an 25bn 4(an bn ) 29bn 29.
 2 2 2 2
 an bn 2an 5bn 5an 2bn 
- Nếu 29 | (2an 5bn ) thì nguyên suy ra cũng nguyên.
 29 29 29 
 a2 b2
Như vậy n n biểu diễn được dưới dạng tổng hai số chính phương. 
 29
 2 2 2 2
 an bn 2an 5bn 5an 2bn 
- Nếu 29 | (2an 5bn ) thì nguyên suy ra cũng nguyên.
 29 29 29 
 a2 b2
Như vậy n n biểu diễn được dưới dạng tổng hai số chính phương. 
 29
 a2 b2
Do đó n n luôn biểu diễn được dưới dạng tổng hai số chính phương. 
 29
 a2 b2
Giả sử n n a2 b2 ,n 1 và a ,b nguyên dương. Khi đó a2 b2 29n 1.z
 29 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
 a2 b2
Nếu n 2 , ta chứng minh tương tự n 1 n 1 cũng biểu diễn được thành tổng hai số chính phương. 
 29
 2 2
Như vậy ta lặp quá trình này n lần cho đến khi rút hết 29 ở vế phải, thì a0 b0 z .
Vậy z luôn biểu diễn được dưới dạng tổng hai số chính phương. 
Câu 5. 
a) Ta có AFC ADC 90. Suy ra A, F, D, C thuộc đường tròn đường kính AC. 
Hay tứ giác AFDC nội tiếp nên BFD 180 AFD ACD.
 180 AOB AOB
Ta có ABO 90 90 ACB.
 2 2
Khi đó ABO BFD 90 ACB ACD 90.
Do đó OB vuông góc DF. Mà OB vuông góc BN. Như vậy DF song song BN. 
 DeThiHay.net 26 Đề thi và Đáp án chuyên Toán vào 10 các tỉnh năm học 2025-2026 - DeThiHay.net
b) Giả sử DF cắt BH tại I và DE cắt HC tại J. 
Ta thấy MB = MC, OB = OC nên OM là đường trung trực của BC. Và K là trung điểm BC. 
Dó đó OM vuông góc BC tại K. 
Ta chứng minh được BFN AFE ACB 90 ABO ABN.
Như vậy tam giác BFB cân tại N hay NF = NB. 
Mà tam giác BFC vuông tại F, có K là trung điểm BC thì KB = KF.
Suy ra NK vuông góc FB hay NK song song FC. 
Gọi giao điểm NK với DE, AD lần lượt là G, P. Gọi giao điểm OK và HG là M’. 
 GH GP
Vì HD song song với OM’ nên theo định lý Thales thì .(1)
 GM ' GK
 GP JH
Mặt khác CH song song PK nên .(2)
 GK JC
 GH JH
Từ (1) và (2) thì khi đó GJ song song CM’. 
 GM ' JC
Ta chứng minh tương tự câu a thì DE vuông góc OC, thì khi đó CM’ vuông góc OC. 
Kết hợp với M’ thuộc trung trực BC nên M’C là tiếp tuyến hay M trùng M’. 
Vậy HM, NK, DE đồng quy tại điểm G.
Câu 6. 
a. Do AI, BI, CI cắt (O) lần lượt tại D, E, F nên D, E, F là trung điểm cung nhỏ BC, CA, AB. Khi đó: 
 ACB BAC
FAI FAB BAD FCB BAD .
 2 2
 ACB BAC
Và FIA IAC ICA .
 2 2
Suy ra FAI FIA. Hay tam giác FAI cân tại F nên FA = FI
Chứng minh tương tự thì EA = EI.
Như vậy đường thẳng EF là đường trung trực của đoạn thẳng AI. 
 DeThiHay.net 26 Đề thi và Đáp án chuyên Toán vào 10 các tỉnh năm học 2025-2026 - DeThiHay.net
b. Ta thấy tam giác AGQ có AI là phân giác và AI vuông góc QG nên tam giác AGQ cân tại A hay AG = 
AQ. Chứng minh tương tự thì BH = BM, CP = CN.
Ta có QPE DAP ADP DFC ADP.
Do E là trung điểm cung nhỏ AC nên ADP PDC CFE.
Suy ra QPE DFC CFE DFE. (1) 
Mà lại có EQP AQG AGQ FGH.(2) 
 FG PQ
Từ (1) (2) thì FGH ~ PQE hay GH.PQ FG.QE.
 GH QE
Ta cũng có: AGF AQE,AFG CFE QAE.
 FG AG
Suy ra AFG ~ EAQ(g.g) hay AQ2 AQ.AG FG.QE GH.QE.
 AQ QE
Chứng minh tương tự thì GH.MN BM 2 , PQ.MN CP2.
Bây giờ , ta có
( GH MN PQ)2 GH MN PQ 2( GH.MN MN.PQ PQ.GH )
 GH MN PQ 2(AQ BM CP)
 (AG GH HB) (BM MN NC) (CP PQ QA)
 AB BC CA.
Như vậy AB BC CA GH MN PQ.
 DeThiHay.net 26 Đề thi và Đáp án chuyên Toán vào 10 các tỉnh năm học 2025-2026 - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 5
 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 NĂM HỌC: 2025-2026
 TỈNH ĐỒNG NAI
 MÔN: TOÁN
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
 1
1. Rút gọn biểu thức 푃 = 5 ― 2 : (với ≥ 0, ≠ 1).
 2 1 2
 2
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình ―2 +3 +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, 
 3 3
x2 thỏa mãn 1 + 2 = 20.
Bài 2. (2,25 điểm)
 + 2 ― 2 ― 2 = 0
1. Giải hệ phương trình .
 2 + 2 ― 3 = + + 1
2. Cho P(x) là đa thức bậc ba thỏa mãn (x + 2)P(x + 1) = (x – 1)P(x + 2), với mọi số thực x và P(3) = 6. 
Chứng tỏ P(2) = 0 và xác định đa thức P(x)
Bài 3. (2,0 điểm)
1. Chứng minh trong 37 số nguyên dương bất kỳ, luôn tìm được 7 số có tổng chia hết cho 7.
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho với mọi số nguyên dương a, b thì hai số a + 8b và 6a + 43b hoặc 
cùng chia hết cho p hoặc cùng không chia hết cho p.
Bài 4. (0,75 điểm)
1. Cho các số thực dương a, b. Chứng minh 3 + 3 ≥ 2 + 2 .
2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≥ 3. Chứng minh 2( 3 + 3 + 3) +3 ≥ 9.
Bài 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (với AB < BC < AC) có I, J, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. 
Gọi D là giao điểm của hai đường tròn (I; IA) và (J; JA) với D khác A.
1. Chứng minh tứ giác AIMJ là hình bình hành và ba điểm B, D, C thẳng hàng.
2. Tiếp tuyến của (I; IA) tại A cắt đường thẳng 퐽 tại điểm 퐾 và cắt (J; JA) tại điểm P, với P khác A. Tiếp 
tuyến của (J; JA) tại A cắt (I; IA) tại điểm Q, với Q khác A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Chứng 
minh tứ giác ADMK nội tiếp đường tròn và 푃 푄 + 푃 푄 = 180∘.
2. Gọi S và T lần lượt là giao điểm của đường thẳng PQ với hai đường thẳng BC và AD. 
Chứng minh TP.SQ = TQ.SP
 ---hết---
 DeThiHay.net