Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Hải Phòng (Có đáp án)

 Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiHay.net
 (1,0 x y z 
 P 2 3 (BĐT Côsi) 0,25
điểm) 3z 2x y 3x 2y z 3y 2z x 
 2 2 2
 = 2 3 + + 
 (3 2 ) (3 2 ) (3 2 )
 2 3( )2 0,5
 ≥ 2( 2 2 2) 4( ) = 3
 (BĐT Bunhiacopxki) (đpcm). Đẳng thức xảy ra x y z .
 a) (1,0 điểm) 
 2
 PT 4y4 8y2 12 4x2 12x 2y2 2 2x 3 2 7
 0,5
 2y2 2x 1 2y2 2x 5 7
 2y2 2x 1 1
 Với x, y nguyên dương thì 2y2 2x 1 0 nên hoặc 
 2
 2y 2x 5 7
 0,25
 2y2 2x 1 7
 2
 2y 2x 5 1
 2y2 2x 1 1 4x 6 6 x 0
 (loại).
 2 2 
 2y 2x 5 7 2y 2x 1 1 y 1
 2y2 2x 1 7 4x 6 6 x 3 0,25
 , loại trường hợp y 1 .
 2 2 
 2y 2x 5 1 2y 2x 1 7 y 1
 Vậy phương trình có nghiệm x; y 3;1 .
 5 b) (1,0 điểm)
 Cách 1: Dễ thấy tập hợp gồm 51 các số lẻ không thỏa mãn điều kiện của 
 (2,0 0,25
điểm) đề bài. Ta sẽ chứng minh n nhỏ nhất bằng 52.
 Xét một tập A  X và A 52 có các phần tử được sắp xếp a1 a2 ... a52
 1 a 50 .
 1 0,25
 Nếu a1 1thì trong 51 số còn lại của A luôn tồn tại 2 số nguyên liên tiếp, 
 thỏa mãn điều kiện đề bài.
 Ta chia các số a1 1,a1 2,...,101 vào các tập Bi gồm các phần tử k sao cho 
 101 i 
 k  i mod a1 , i 1,a1 Bi . (ở đây ta kí hiệu a là số nguyên lớn 
 a1 
 nhất không vượt quá số thực a )
 a1 3 0,25
 Nếu 101 a1 và 51a1 
 a1 17
 Ta xét trường hợp a1 3, trường hợp a1 17 tương tự.
 B1 33, B2 33, B3 32 . Trong 51 số còn lại của A mỗi tập B1,B2 chỉ có thể 
 chứa nhiều nhất 17 số, nếu không sẽ tồn tại hai phần tử có hiệu bằng 3. 
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiHay.net
Vậy tập B3 chứa ít nhất 17 số nên trong B3 chứa ít nhất hai phần tử có hiệu 
bằng 3.
 51 1 101 i 
 
Nếu 51a1 , do 1 , i 1,a1 nên mỗi tập Bi i 1,a1 1 chỉ chứa 
 a1 2 a1 
 51 
tối đa 1 phần tử trong 51 phần tử còn lại của A .
 a1 
 51 
 B chứa ít nhất 51 a 1 1 trong 51 phần tử còn lại của A .
 a1 1 
 a1 
 51 1 101 
Ta chứng minh 51 a 1 1 B 1 
 1 a1 
 a1 2 a1 
 51 1 101 51 
 52,5 a1 .
 a1 2 a1 a1 0,25
 1 101 51 50,5 51 
Do a 51 52,5 nên trong B có quá nửa số phần tử 
 1 a1
 2 a1 a1 a1 a1 
thuộc A trong B chứa ít nhất 2 phần tử a ,a thỏa mãn a a a , trừ 
 a1 m n m n 1
trường hợp B lẻ. 
 a1
Nếu B có 3 phần tử, tồn tại tập B nào đó có 4 phần tử chứa ít nhất 3 phần 
 a1 j
tử của A thỏa mãn có hai phần tử có hiệu bằng a1. 
Nếu B 5 , khi đó các phần tử 2a ,4a ,6a A thỏa mãn 2a 4a 6a .
 a1 1 1 1 1 1 1
Ta có đpcm trong mọi trường hợp A 52 .
Cách 2:
Bổ đề: Xét tập A  X sao cho không tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt 
 101 
a, b, c A thỏa mãn a b c . Gọi x min A;k . Khi đó
 x 
a) Trong tập Bm x 2mx 1; x 2mx 2;...;3x 2mx có nhiều nhất x số thuộc A 
(1). 
b) A 51.
a) Ta có a A hoặc a x A suy ra (1) được chứng minh. 
 1 101 
b) TH1: k 2n . (1) A 1 n.x 1 . 51,5 A 51.
 2 x 
 TH2: k 2n 1 .(1) 
 101
 A 1 n.x 101 x 2nx 102 x 1 n 102 x. 51,5 A 51.
 2x
Vậy A 51, bổ đề được chứng minh. Suy ra n nhỏ nhất bằng 52 thỏa mãn 
bài toán. 
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 5
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2020 - 2021
 Môn thi: Toán (Chuyên)
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
 1
a) Cho biểu thức 푃 = 2 ― : 1 + .
 1 1 1
 1
Rút gọn P. Tìm tất cả các giá trị của để .
 푃 ≤ ― 7
b) Cho phương trình ẩn là 2 ― + 푞 = 0 (1) (với ;푞 là các số nguyên tố). Tìm tất cả 
các giá trị của p và q biết phương trình (1) có nghiệm là các số nguyên dương.
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình ( +1) ― 2 + 2 + 6 = 3 + 2 .
 2 + 2 = 2 2
b) Giải hệ phương trình 3 + 1 = 2 .
Bài 3. (3,0 điểm) Cho tam giác vuông tại ( < ), là trung điểm cạnh .푃 là 
một điểm di động trên đoạn (P khác A và M). Đường tròn đi qua 푃, tiếp xúc với đường 
thẳng tại , cắt đường thẳng 푃 tại 퐾 (K khác P). Đường tròn đi qua 푃, tiếp xúc với 
đường thẳng tại , cắt đường thẳng 푃 tại L (L khác P).
a) Chứng minh BP.BK + CP.CL = BC2.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác 푃퐾 luôn đi qua hai điểm cố định.
c) Gọi 퐽 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác 푃퐾 và là giao điểm thứ hai của đường 
tròn này với đường thẳng . Gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác 푃퐿 và 퐹 là 
giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng . Chứng minh 퐹// 퐽.
Bài 4. (1,0 điểm)
Cho ba số dương , , thỏa mãn + + = 5. Chứng minh
 3 2 6
 + + ≤ .
 2 + 5 2 + 5 6( 2 + 5) 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Bài 5. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 ― ―2 2 +5 = 4.
b) Giả sử rằng là tập hợp con của tập hợp {1;2;3;;1023} sao cho không chứa hai số 
nào mà số này gấp đôi số kia. Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiHay.net
 ---------HẾT---------
 ĐÁP ÁN
 Bài Nội dung Điểm
 a) (1,0 điểm)
 1
 푃 = 2 ― : 1 ĐК: ≥ 0, ≠ 1 0,25
 ( 1)( 1) 1 1
 2 ― ― 1 + 1 1 ― 
 ⇔푃 = ⋅ ⇔푃 = 0,25
 ( + 1)( ― 1) + + 1 + + 1
 1 1 ― 1
 푃 ≤ ― ⇔ ≤ ―
 7 + + 1 7
 0,25
 ⇔7 ― 7 ≤ ― ― ― 1 (do + + 1 > 0∀ ≥ 0)
 1 ⇔ ― 6 + 8 ≤ 0
(2,0 ⇔( ―2)( ―4) ≤ 0⇔2 ≤ ≤ 4⇔4 ≤ ≤ 16. 0,25
điểm) b) (1,0 điểm)
 Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là Δ = 2 ―4푞 ≥ 0( ∗ ) 
 0,25
 1 + 2 = +
 Áp dụng định lý Vi-et ta có với 1; 2 ∈ ℤ .
 1 2 = 푞
 Vì 푞 là số nguyên tố nên 1 = 1 hoặc 2 = 1 0,25
 Nếu 1 = 1 thì 1 + 2 = và 2 là các số nguyên tố liên tiếp, suy ra 2 
 là số nguyên tố chẵn nên 2 = 푞 = 2; = 3. Tương tự, nếu 2 = 1 thì 1 0,25
 = 푞 = 2; = 3
 Ta thấy 푞 = 2; = 3 thỏa mãn điều kiện (*) là các giá trị cần tìm. 0,25
 a) (1,0 điể̀m)
 2
 Đặt = +1; = ― + 2 + 6; ≥ 0. 0,5
 = 3 + 2 2 = ― 1
 Ta được 2 + 2 = 4 + 7⇒( ― ) = 1⇒ = + 1
 Nếu = ―1, thay vào ta được: ― 2 + 2 + 6 = 
 2 ≥ 0 1 + 13 0,25
 ⇔ 2 ⇔ =
(2,0 ― ― 3 = 0 2
điểm) Nếu = +1 thay vào ta được: ― 2 + 2 + 6 = +2
 = 1 5
 ≥ ―2 2
 ⇔ 2 ⇔ 0,25
 + ― 1 = 0 = 1 5
 2
 Vậy nghiệm của phương trình là ∈ 1 5 ; 1 5 ; 1 13
 2 2 2
 b) (1,0 điểm) 0,25
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiHay.net
 2 + 2 = 2 2
 Với điều kiện , ≠ 0 thì hệ phương trình trở thành + 3 2 = 2 2 
 ⇒ 2 ― ―2 2 = 0
 = ― 
 2 2 0,25
 ⇒ + ― 2 ― 2 = 0⇔( + )( ― 2 ) = 0⇔ = 2 
 = ― 
 = ― = 1 0,25
 Nếu = ― ⇒ 2 + 2 = 2 3⇔ = 1 ⇔ = ―1 do , ≠ 0.
 Nếu = 2 
 5
 = 2 
 = 2 =
 ⇒ ⇔ 5 ⇔ 2 do , ≠ 0. 
 4 2 + 2 = 4 3 = 5 0,25
 4 =
 4
 5 5
 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( ; ) ∈ (1; ― 1), ;
 2 4
 Đáp án cho trường hợp hình vẽ trên, các trường hợp khác chứng minh 
 tương tự. a) (1,0 điểm)
 3 là tiếp tuyến của đường tròn ( 푃퐾 ) nên 2 = 푃. 퐾 (1) là tiếp 
 0,5
(3,0 tuyến của đường tròn ( 푃퐿) nên 2 = 푃. 퐿 (2)
điểm) Từ (1) và (2) suy ra 푃. 퐾 + 푃. 퐿 = 2 + 2 = 2 0,5
 b) (1,0 điểm)
 Gọi là đường cao của tam giác ⇒ 2 = . (3) 0,5
 Từ (1) và (3) ⇒ 푃. 퐾 = . . Suy ra tứ giác 푃퐾 nội tiếp nên 
 0,5
 đường tròn ngoại tiếp tam giác 푃퐾 đi qua hai điểm cố định là và .
 c) (1,0 điểm)
 Theo câu b) đường tròn ( 퐽 ) đi qua . Chứng minh tương tự ( ) đi qua 
 0,25
 . (I) và ( 퐽 ) cắt nhau tại ,푃 nên 퐽 ⊥ 푃 (4)
 HPEC nt ⇒AEP = PHC (5) 
 HPFB nt ⇒AFP = PHC (6) 0,25
 Từ (5) và (6) suy ra tứ giác 푃 퐹 nội tiếp nên ⇒ 푃퐹 = 퐹 = 90∘
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiHay.net
 ⇒푃 ⊥ 푃퐹
 Gọi là giao điểm của 푃 và 퐹. Do các tứ giác 푃 và 푃 퐹 nội 
 tiếp nên 푃 = = = = 푃 = 푃퐹 
 0,5
 푃 + 푃 = 푃퐹 + 푃 = 90∘⇒푃 ⊥ 퐹 hay 푃 ⊥ 퐹 (7)
 Từ (4), (7) suy ra 퐽// 퐹.
 3 
 푃 = + + 0,25
 ( + )( + ) ( + )( + ) 6( + )( + )
 4 2 3 3 2 3 1 1
 = ⋅ + ⋅ + ⋅ 0,5
(1,0 6 + + 6 + + 6 + + 
điểm)
 Đẳng thức xảy ra khi
 2 3 3
 = = = 2 = 2 0,25
 ⇔ 2 ⇔ = 2 = 2 = 2
 + + = 5 5 = 5
 a) (1,0 điểm)
 Phương trình ban đầu tương đương với ( ―1) = 2 2 ―5 +4 
 2 2 ― 5 + 4 4 0,25
 ⇒ ( ― 1) = = 2 ― 5 + ( do ≠ 0)
 Vì , ∈ ℤ nên ∈ { ± 1; ± 2; ± 4} 0,25
 Lập bảng các giá trị
 -1 1 -2 2 -4 4
 11 ∃ 11 1 14 4 0,5
 2 3 5 3
 Mà , ∈ ℤ nên nghiệm của phương trình là ( ; ) = (2;1)
 5 b) (1,0 điểm)
(2,0 
 Chia các số từ 1 đến 1023 thành các tập con
điểm)
 0 = {1}, 1 = {2;3}, 2 = {4;5;6;7},
 3 = {8;9;;15}, 4 = {16;17;;31}, 5 = {32;33;.;63}, 
 = {64;65;;127}, = {128;129;;255},
 6 7 0,25
 8 = {256;257;;511}
 9 = {512;513;;1023}
 Dễ thấy số phần tử của tập là 2 , = 0,1,,9.
 Nhận thấy 푛 ∈ ⇔2푛 ∈ +1.
 Xét = 9 ∪ 7 ∪ 5 ∪ 3 ∪ 1⇒| 
 | = 512 + 128 + 32 + 8 + 2 = 682, rõ ràng không chứa số nào gấp 0,25
 đôi số khác.
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiHay.net
Ta chỉ ra rằng không thể chọn tập con có nhiều hơn 682 số thỏa mãn bài 
ra.
Thật vậy: Giả sử tập thỏa mãn yêu cầu bài toán và chứa phần tử 
thuộc , = 0,1,..,9. 0,25
Xét các tập hợp và +1. Với ∈ tùy ý, ta có 2 ∈ +1. Số các 
cặp ( ,2 ) như vậy là 2 và trong mỗi cặp như vậy có nhiều nhất một 
số thuộc .
Ngoài ra tập +1 còn chứa 2 số lẻ, tức là có nhiều nhất 2 + 2 =
 +1
2 số thuộc được lấy từ và +1.
 1 3 5 7
Suy ra 0 + 1 ≤ 2 , 2 + 3 ≤ 2 , 4 + 5 ≤ 2 , 6 + 7 ≤ 2 , 8 + 9 0,25
 9
 ≤ 2 . Cộng các bất đẳng thức ta được 0 + 1 + 2 +⋯ + 9 ≤ 682. 
Vậy số phần tử lớn nhất của là 682 .
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 6
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
 HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2019 - 2020
 Môn thi: Toán (Chuyên)
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
 1 3
a. Cho các biểu thức: 푃 = 3 ― + : (với ≥ 0)
 1 1 1 1
 1
Rút gọn biểu thức P . Tìm các giá trị của x để 
 푃 ≥ 5
b. Cho phương trình x2 +4x ― = 0 (1)( là tham số). Tìm các giá trị của để phương 
 1 1 2 2
trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1, 2 thoả mãn + ( 1 + 2 ) = 4( +2)
 1 2
Bài 2. (2,0 điểm)
a. Giải phương trình 2 2 +3 ―2 = (2 ―1) 2 2 + ― 3
 3 + = 9
b. Giải hệ phương trình 2 + 2 = + 4 
Bài 3. (3,0 điểm) 
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )( < ). Kẻ đường cao ( ∈ ) 
của tam giác và kẻ đường kính của đường tròn ( ).
a. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh là đường trung trực của đoạn 
thẳng .
b. Gọi 푆, là các giao điểm của đường tròn ( ) vói đường tròn tâm bán kính ;퐹 là giao 
điểm của 푆 và . Từ kẻ đường thẳng vuông góc với tại . Chứng minh 퐹 ⋅ 퐹 = 퐹
 2 và 3 điểm 퐹, , thẳng hàng.
c. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn tâm bán kính 
 .
Bài 4. (1,0 điểm) 
Cho , , là 3 số thực dương thỏa mãn ( ― ) + ( ― ) = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 3 3 2 2 4
biểu thức 
 푃 = 2 2 + 2 2 + 
Bài 5. (2,0 điểm) 
a) Tìm các số nguyên tố ,푞 thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) 2푞 + chia hết cho 2 + 푞
ii) 푞2 + 푞 chia hết cho 푞2 ― 
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiHay.net
 1 1 1 1
b) Viết lên bảng 2019 số: . Từ các số đã viết xoá đi 2 số bất kì rồi viết 
 1;2;3;;2018;2019 , 
lên bảng số 1 ( các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho 
đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?
 ---------HẾT---------
 DeThiHay.net Đề thi vào 10 Toán chuyên tỉnh Hải Phòng (Có đáp án) - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) (1,0 điểm)
 1 + 3
푃 = :
 ― + 1 ― + 1
 1
= .
 + 3
 1 1 1
푃 ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ 2⇔ ≤ 4.
 5 + 3 5
Vậy 0 ≤ ≤ 4 thỏa mãn bài toán
b) (1,0 điểm)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
⇔Δ′ = 4 + > 0⇔ > ―4.
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
 + = ―4
 1 2 .
 2 = ― 
 4(16 + 2 )
 푡⇔ = 4( + 2)( ≠ 0)
⇔ 2 = 16⇔ =± 4
Kết hợp với điều kiện > ―4; ≠ 0t được = 4 thỏa mãn.
Bài 2.
a) (1,0 điểm)
 3
ĐКХĐ: hoặc .
 ≥ 1 x ≤ ― 2
 2x ― 1 = 0
 2 .
PT⇔(2x ― 1)( + 2) = (2x ― 1) 2x + ― 3⇔ + 2 = 2x2 + ― 3
 1
 (không thỏa mãn ĐKXĐ)
2x ― 1 = 0⇔ = 2
 2 ≥ ―2 ≥ ―2
 + 2 = 2 + ― 3⇔ 2 2 + ― 3 = 2 + 4 + 4⇔ 2 ― 3 ― 7 = 0Vậy phương trình 
có hai nghiệm là 3 37 3 37 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 1 = 2 ; 2 = 2
b) (1,0 điểm)
ĐKXĐ: ≥ 0. Lấy phương trình thứ nhất trừ đi ba lần phương trình thứ hai:
 3 ― 3 2 + 3 ― 1 = 8 ― 12 + 6 ― 
⇔( ―1)3 = (2 ― )3⇔ ―1 = 2 ― .
Thế = 3 ― vào phương trình thứ nhất: 3 +(3 ― )3 = 9⇔ 2 ―3 +2 = 0
 DeThiHay.net