Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (58 Đề kèm lời giải)

 Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
1. Một cốc thuỷ tinh có mặt trong dạng hình trụ với chiều cao bằng 15 cm đựng đầy nước và 
thể tích nước chứa được trong cốc bằng 240 cm3. Người ta thả vào cốc một viên bi sắt hình 
cầu có bán kính bằng bán kính đáy mặt trong của cốc nước, viên bi sắt ngập toàn bộ trong 
nước. Tính thể tích nước bị tràn ra khỏi cốc. ( 3,14 , kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
2. Một hộp đựng 100 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, trong đó có 35 viên bi màu 
đỏ, 25 viên bi màu xanh và số còn lại là bi màu vàng. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi rồi 
bỏ lại vào hộp.
a) Tính xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng.
b) Bạn An được mẹ cho thêm x viên bi màu xanh vào trong hộp. Tìm x, biết rằng khi đó 
 1
xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng là .
 3
Câu 5. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 8x 2 6xy 9y .
2. Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 3a 3b 3c
 Q .
 a a bc b b ac c c ab
 ------------HẾT------------
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
 Câu Nội dung
 x 6 x 5 x 2 1
 1. Cho biểu thức P 1, với x 0; x 4
 x x 2 x 1 x 2
 a) Rút gọn biểu thức P .
 x 6 x 5 x 2 1
 P 1 ( x 0; x 4 )
 x x 2 x 1 x 2
 x 6 x 5 x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 
 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 
 x 6 x 5 x 4 x 1 x x 2 3x 6 x
 x 1 x 2 x 1 x 2 
 3 x x 2 3 x
 x 1 x 2 x 1
 b) Tìm x nguyên để biểu thức P nhận giá trị nguyên. 
 3 x 3 x 3 3 3
 P 3 
 x 1 x 1 x 1
Câu 1 P nhận giá trị nguyên khi x 1 là ước của 3
(5,0 đ) Mà x 1 0 nên x 1 1 hoặc x 1 3
 Do đó, x 0 (nhận) hoặc x 4 (loại)
 Vậy: Khi x 0 thì P nhận giá trị nguyên.
 2. Cho x 14 6 5 6 2 5 . Tính giá trị của biểu thức: 
 2025
 Q x3 5x 45 .
 2 2
 Ta có: x 14 6 5 6 2 5 3 5 5 1 
 3 5 5 1 4
 2025 2025
 Thay x 4 vào biểu thức Q, ta được: Q 43 5.4 45 1 1
 3. Cho ba số thực x, y, z khác 0 thoả mãn x y z 0 . Chứng minh rằng: 
 x y z 3 y z x 3 z x y 3
 3
 x y z 2 y z x 2 z x y 2 xyz
 3 3
 Ta có: x3 y3 x y 3xy x y z 3xy z (vì x y z 0 )
 Do đó: x3 y3 z3 3xyz
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 Câu Nội dung
 x y z 3 y z x 3 z x y 3 2z 3 2y 3 2x 3
 x y z 2 y z x 2 z x y 2 xyz xy x y yz y z xz x z 5xyz
 3 3 3
 8 x y z 24xyz
 3
 xyz xyz xyz 5xyz 8xyz
 1. Giải phương trình x2 x 1 3 x3 2x2 2x 1 . 
 Xét phương trình x2 x 1 3 x3 2x2 2x 1 (1).
 Điều kiện x3 2x2 2x 1 0
 Suy ra x 1 x2 x 1 0
 2
 2 1 3
 Suy ra x 1 (vì x x 1 x 0, x )
 2 4
 Từ (1), ta có: x2 x 1 2 x 1 3 x 1 x2 x 1 0
 x 1 x 1
 2. 3. 1 0
 x2 x 1 x2 x 1
 x 1
 Đặt t (t 0 ), ta được phương trình: 2t 2 3t 1 0
 x2 x 1
 1
 t 1 (nhận) hoặc t (nhận)
 2
Câu 2 + Với t 1, ta có:
(5,0 đ) x 1
 1
 x2 x 1
 x 1
 1
 x2 x 1
 x2 2x 2 0(vô nghiệm)
 1
 + Với t , ta có:
 2
 x 1 1
 x2 x 1 2
 x 1 1
 x2 x 1 4
 x2 5x 5 0
 5 5
 x (thỏa mãn điều kiện)
 2
 5 5 5 5
 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x và x 
 2 2
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
Câu Nội dung
 2 2
 x xy 3 y 2y (1)
 2. Giải hệ phương trình 2 .
 x 3 x y 2 3y (2)
 Biến đổi phương trình (1), ta được: x2 3 y2 2y xy , thay vào (2) được: 
 y2 2y xy x y 2 3y 
 y 2 x y 2 x y 3y (*)
 Xét y 0 , thay vào (1) ta được x2 3 0 (vô nghiệm).
 Xét y 0 : Phương trình (*) trở thành: 
 2 x y 2 x y 3
 4 x y 2 3
 x y 1 hoặc x y 1
 Trường hợp x y 1: Thay vào (2), ta được:
 x2 x 4 0 (vô nghiệm)
 Trường hợp x y 1: Thay vào (2), ta được:
 x2 3x 0
 x 0 hoặc x 3
 x 0 suy ra y 1; x 3 suy ra y 4
 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (0;1) và (3;4)
 3. Một bể nước (ban đầu chưa có nước) được cung cấp nước bởi ba vòi. Biết rằng 
 nếu từng vòi cung cấp nước cho bể thì vòi thứ nhất sẽ làm đầy bể nhanh hơn vòi 
 thứ hai 10 giờ, vòi thứ ba lại làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất 8 giờ; còn nếu vòi 
 thứ nhất và thứ hai cùng cung cấp nước cho bể thì thời gian để chúng làm đầy bể 
 bằng với thời gian vòi thứ ba làm đầy bể. Hỏi nếu cả ba vòi cùng cung cấp nước 
 cho bể thì chúng làm đầy bể trong bao lâu?
 Bài giải
 Gọi thời gian vòi thứ ba làm đầy bể là t (giờ), t > 0
 Thời gian vòi thứ nhất làm đầy bể là t + 8 (giờ)
 Thời gian vòi thứ hai làm đầy bể là t + 8 + 10 = t + 18 (giờ)
 1 1
 Một giờ, cả hai vòi thứ nhất và thứ hai chảy được: bể nước
 t 8 t 18
 1
 Một giờ, vòi thứ ba chảy được: bể nước.
 t
 Theo đề bài, ta có phương trình: 
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 Câu Nội dung
 1 1 1
 t 8 t 18 t
 (t + 18) + (t + 8)t = (t + 8)(t + 18)
 t2 = 144
 t 12 (nhận) hoặc t 12 (loại)
 1 1 1 1 1 1 1
 Trong một giờ, cả ba vòi chảy được: bể nước.
 t t 8 t 18 12 20 30 6
 Vậy nếu cả ba vòi cùng cung cấp nước cho bể thì sau 6 giờ sẽ đầy bể.
 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng 
 AO. Đường thẳng a vuông góc với AB tại C, cắt nửa đường tròn (O; R) tại I. Trên 
 đoạn CI lấy điểm K bất kỳ (K không trùng với C và I). Tia AK cắt nửa đường tròn 
 (O; R) tại M. Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O; R) tại M cắt đường thẳng a tại N, 
Câu 3 tia BM cắt đường thẳng a tại D.
(5,0 đ) 1. Chứng minh: Tứ giác ADMC nội tiếp và tam giác MNK là tam giác cân.
 2. Khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI, tính diện tích tam giác ABD theo R.
 3. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đoạn thẳng CI (K không trùng với C 
 và I) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD luôn nằm trên đường thẳng cố 
 định.
 Hình vẽ 
 1. Ta có ·AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra ·AMD 900
 ·ACD 900 (gt)
 Suy ra tứ giác ADMC nội tiếp đường tròn.
 Ta có: N· MA ·AMO 900 , ·AMO M· AO (tam giác OAM cân tại O),
 M· AO M· BA 900
 Suy ra N· MA M· BA (1)
 ·AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); K· CB 900 (gt)
 Suy ra tứ giác CKMB nội tiếp
 Suy ra N· KM M· BA (cùng bù với C· KM ) (2)
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 Câu Nội dung
 Từ (1) và (2) suy ra N· MA N· KM
 Suy ra NMK cân tại N
 R2 3R2
 2. Xét tam giác OCI vuông tại C có IC 2 OI 2 OC 2 R2 
 4 4
 R 3
 Suy ra: IC 
 2
 R 3
 Suy ra: KC (vì K là trung điểm của IC)
 4
 R 3R
 Mặt khác: BC AB AC 2R 
 2 2
 Xét AKC và DBC có: 
 ·ACK D· CB 900 ; ·AKC D· BC (cùng phụ với M· AB )
 Suy ra: AKC đồng dạng với DBC (g.g)
 AC KC
 Suy ra: 
 DC CB
 AC.CB R 3R R 3
 DC . : R 3 
 KC 2 2 4
 AB.DC 2R.R 3
 Suy ra S R2 3 (đvdt)
 ADB 2 2
 3. Đường tròn ngoại tiếp AKD cắt đường thẳng AB tại E
 Tứ giác AKDE nội tiếp nên D· EA ·AKC (cùng bù với ·AKD )
 Tứ giác CKMB nội tiếp nên ·ABM ·AKC (cùng bù với C· KM )
 Suy ra D· EA ·ABM 
 Suy ra DEB cân tại D
 Suy ra đường cao CD cũng là đường trung tuyến 
 Suy ra E và B đối xứng với nhau qua C
 Suy ra E cố định (do B và C cố định)
 Do A, E cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp AKD nằm trên đường trung trực 
 của AE (cố định).
 1. Một cốc thuỷ tinh có mặt trong dạng hình trụ với chiều cao bằng 15 cm đựng đầy 
 nước và thể tích nước chứa được trong cốc bằng 240 cm3. Người ta thả vào cốc 
 một viên bi sắt hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy mặt trong của cốc nước, 
Câu 4 viên bi sắt ngập toàn bộ trong nước. Tính thể tích nước bị tràn ra khỏi cốc. 
(2,0 đ) ( 3,14 , kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
 Bài giải
 Gọi bán kính đáy mặt trong của cốc nước là r (cm), r 0
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 Câu Nội dung
 Theo đề bài ta có: r 2.15 240 
 Suy ra r 4 (cm)
 Thể tích của viên bi sắt là: r3 3,14.43 200,96 201 cm3 
 Do thể tích nước tràn ra khỏi cốc bằng thể tích viên bi nên thể tích nước tràn ra khỏi 
 cốc là 201 (cm3)
 2. Một hộp đựng 100 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, trong đó có 35 viên 
 bi màu đỏ, 25 viên bi màu xanh và số còn lại là bi màu vàng. Bạn An lấy ngẫu 
 nhiên một viên bi rồi bỏ lại vào hộp.
 a) Tính xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng.
 b) Bạn An được mẹ cho thêm x viên bi màu xanh vào trong hộp. Tìm x, biết rằng, 
 1
 khi đó xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng là .
 3
 Bài giải
 a) Số viên bi màu vàng trong hộp là: 100 – 25 – 35 = 40 viên
 40 2
 Xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng là: 
 100 5
 b) Tổng số viên bi trong hộp sau khi thêm x viên bi màu xanh là: 100 + x
 40
 Xác suất để lấy được viên bi màu vàng là: 
 100 x
 40 1
 Theo đề bài ta có: suy ra x = 20
 100 x 3
 1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 8x 2 6xy 9y
 4x2 8x 2 6xy 9y
 2x 3 2 2 2x 3 5 3y 2x 3 
 2x 3 2x 3y 1 5 
 2x 3 1 x 1
 TH1: suy ra 
 2x 3y 1 5 y 2
Câu 5
 x 2
(3,0 đ) 2x 3 1 
 TH2: suy ra 2 (loại)
 2x 3y 1 5 y 
 3
 x 1
 2x 3 5 
 TH3: suy ra 2 (loại)
 2x 3y 1 1 y 
 3
 2x 3 5 x 4
 TH4: suy ra 
 2x 3y 1 1 y 2
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
Câu Nội dung
 Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: 1; 2 ; 4; 2 
 2. Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 3a 3b 3c
 Q .
 a a bc b b ac c c ab
 Đáp án:
 Do a,b,c 0 và a b c 1 nên 0 a,b,c 1
 Suy ra a a2 0 mà bc 0 nên a bc a2 0
 3a 3a a bc a 3a a a b c bc a 
 Ta có: 
 a a bc a bc a2 a a b c bc a2
 3a a b a c a 
 ab bc ac
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số thực dương a b và a c , ta có:
 a b a c 
 3a a 
 3a a b a c a 2 3 ab ac 
 . 
 ab bc ac ab bc ac 2 ab bc ac 
 3a 3 ab ac 
 Suy ra (1)
 a a bc 2 ab bc ac 
 Chứng minh tương tự, ta được:
 3b 3 ab bc 
 (2)
 2 ab bc ac
 b b ac 
 3c 3 ac bc 
 (3)
 c c ab 2 ab bc ac 
 1
 Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta được Q 3. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = .
 3
 1
 Vậy giá trị lớn nhất của Q là 3, đạt được khi a = b = c = . 
 3
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 5
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS 
 NĂM HỌC 2024-2025
 Môn: Toán
 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm)
1.1. Cho biểu thức:
 2 xy 1 1 xy 2 x xy x xy x 
A 2 : ( với 
 1 xy 1 xy xy 1 xy 1 
x 0;y 0;xy 1),(2)
a) Rút gọn biểu thức A .
 1 1
b) Cho 12, tìm giá trị lớn nhất của A .
 x y
 c c2 1 ac
1.2. Xét ba số thực dương a,b,c thoả mãn . Tính giá trị biểu thức
 b b c c2 1
 1 1 1
P 
 ab a bc 1 bc b 1 ca c 1
Câu 2 (2,0 điểm). Khởi động một giờ học, cô An cho lớp chơi trò chơi "Quay số nhận quà". 
Vòng quay số gồm 6 ô gắn các số tự nhiên từ 1 đển 6 (mỗi số gắn trên một ô). Người chơi 
được quay số 3 lần. Sau 3 lần quay, nếu kết quả nhận được có đủ các chữ số 3, 1, 2 thì sẽ 
được nhận quà. Hãy tính xác suất để người chơi được nhận quà.
Câu 3(2,0 điểm). Bình khởi hành từ thành phố Lào Cai về huyện Bảo Thắng. Sau đó 5 phút, 
Minh và An khởi hành từ huyện Bảo Thắng về thành phố Lào Cai. Trên đường đi Bình gặp 
Minh rồi gặp An ở hai địa điểm cách nhau 6 km. Tính vận tốc mỗi người? Biết rằng thành 
phố Lào Cai cách huyện Bảo Thắng 33 km ; vận tốc của Bình gấp ruỡi vận tốc của An và 
 2
bằng vận tốc của Minh.
 3
Câu 4 (2,0 diểm)
4.1. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a + b + ab = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = a2 + b2.
4.2. Với a,b,c 0,3bc ac ab 1, chứng minh rằng a3b3c3 b3 c3 3b3c3.
Câu 5 (3,0 điểm)
5.1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 3 thì A n 3 n2 n 2 không phải là số 
nguyên tố.
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
5.2. Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn xy(x y) 1 chia hết cho 3 . Chứng minh x y 
chia hết cho 3 .
5.3. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 6x2 xy 2y2 4x 2y 7 0.
Câu 6 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB AC) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AH . Gọi I là 
tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Đường thằng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai 
là M . Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Đường thẳng MK cắt các đường thẳng AH và 
BC thứ tự tại P và Q . Gọi F là giao điểm của AM và BC.
a) Chứng minh: FA.FM= FH.FQ .
b) Chứng minh: VAKP cân;
c) Chứng minh: MB2 MK.MQ và tứ giác QIHP nội tiếp.
d) Đường thẳng KI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D . Hai đường thẳng AD và BC 
cắt nhau tại R. Gọi E là trung điểm của AR . Chứng minh ba điểm Q, I,E thẳng hàng.
 ------------HẾT------------
 DeThiHay.net