Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (40 Đề kèm lời giải)

 Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 3
 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 2 NĂM HỌC 2024-2025
 (Đề kiểm tra có 01 trang) MÔN: TOÁN, LỚP 11, PHẦN TỰ LUẬN
 Thời gian: 100 phút, không kể thời gian phát đề
Họ và tên thí sinh:....................................................... SBD:.................
Câu 1. (2,0 điểm) 
Cho phương trình sinx + 2sinxcos2x – 2cos2x – 1 = 0. 
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn  ;3 .
Câu 2. (4,5 điểm) 
a) Giả sử anh Hưng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với điều khoản về tiền lương như 
sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Hưng là 60 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm 
tiền lương của anh Hưng được tăng thêm 8%. Tính tổng số tiền lương anh Hưng lĩnh được 
trong 10 năm đi làm (đơn vị: triệu đồng, làm tròn đến hàng phần nghìn). 
b) Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị sản phẩm của một công ty được xác 
định bởi hàm số:C x 50000 105x . Gọi C x là chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị 
sản phẩm. Tính lim C x .
 x 
c) Hình 6.7 là bảng giá cước taxi bốn chỗ của một hãng taxi A. Bác An quê ở Diễn Châu 
Nghệ An, sống và làm việc ở thủ đô Hà Nội. Dịp Tết Ất Tỵ 2025, Bác An dự định sẽ thuê 
taxi để về quê ăn Tết. Gọi f(x) là số tiền phải trả khi bác An đi x(km) (0 ≤ x ≤ 500) bằng taxi 
bốn chỗ của hãng taxi A. Em hãy giúp Bác An tính số tiền phải trả khi đi 300 km và xét tính 
liên tục của f(x).
 Hình 6.7
Câu 3. (4,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AD = 2BC. Gọi M, 
N lần lượt là trung điểm của SD, SC. 
a) Chứng minh BN//mp (MAC).
 PQ
b) Gọi I là trung điểm của AD, P BM  SCI , Q AN  SBI . Tính tỉ số .
 AD
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
Câu 4. (1,5 điểm) Một đội bóng học sinh gồm 10 cầu thủ được khoác áo số từ 1 đến 10. 
Trong một buổi tập, huấn luyện viên xếp ngẫu nhiên 7 cầu thủ trong đội bóng thành một 
hàng ngang. Tính xác suất để xếp được hàng ngang có các cầu thủ khoác áo số 1,2,3,4 trong 
đó hai cầu thủ có áo số 1 và áo số 2 đứng cạnh nhau đồng thời hai cầu thủ áo số 3 và áo số 4 
cũng đứng cạnh nhau?
 ------------HẾT------------
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
 Câu 1. (2,0 điểm) Cho phương trình sin x 2sin xcos2x 2cos2x 1 0. 
 Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn  ;3 .
 Lời giải:
 Pt sin x 2sin x cos 2x 2cos 2x 1 0 sin x 1 2cos 2x 1 0
 0.5
 x k2 
 2
 1 sin x 1 
 2 1.0
 1 x k2 , k ¢ .
 cos 2x 3
 2 2 
 x k2 0.25
 3
 2 4 2 8 5 
 Do x  ;3  nên x ; ; ; ; ;  . 0.25
 3 3 3 3 2 2 
 Vậy tổng tất cả các nghiệm cần tìm bằng 7 .
 a) (1,5 điểm) Giả sử anh Hưng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với 
 điều khoản về tiền lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh 
 Hưng là 60 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh 
 Hưng được tăng thêm 8%. Tính tổng số tiền lương anh Hưng lĩnh được 
 trong 10 năm đi làm (đơn vị : triệu đồng, làm tròn đến hàng phần nghìn).
 a) Đặt A 60 (triệu), r 8% 0,08.
 Tiền lương anh Hưng nhận được sau một năm làm việc là u1 A (triệu 
 đồng).
 Tiền lương anh hưng nhận được trong năm thứ 2 là 0.5
2a
 u2 u1 r.u1 1 r u1 (triệu đồng).
 Tiền lương anh Hưng nhận được trong năm thứ 3 năm là 
 0.5
 u3 u2 ru2 1 r u2 (triệu đồng).
 .
 Như vậy tiền lương theo năm của anh Hưng lập thành một CSN có 0.5
 u1 A 60 (triệu đồng), công bội q 1 r 1,08 . 
 Do đó tổng tiền lương anh Hưng nhận được trong 10 năm làm việc là 
 q10 1 1,0810 1
 S u 60. 869,194 (triệu đồng). 
 10 1 q 1 1,08 1
 b) (1,0 điểm) Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị sản phẩm 
2b của một công ty được xác định bởi hàm số : C x 50000 105x . Gọi 
 C x là chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm. Tính 
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 lim C x .
 x 
 C x 50000 0.5
 b) Ta có C x 105 (nghìn đồng).
 x x
 50000 0.5
 lim C x lim 105 105 (nghìn đồng).
 x x x 
 c) Hình 6.7 là bảng giá cước taxi bốn chỗ của một hãng taxi A. Bác An 
 quê ở Diễn Châu Nghệ An, sống và làm việc ở thủ đô Hà Nội. Dịp Tết Ất 
 Tỵ 2025, Bác An dự định sẽ thuê taxi để về quê ăn Tết. Gọi f x là số 
 tiền phải trả khi bác An đi x km 0 x 500 bằng taxi bốn chỗ của hãng 
 taxi A. Em hãy giúp Bác An tính số tiền phải trả khi đi 300 km và xét tính 
 liên tục của f x .
 Hình 6.7
 10000, nÕu 0 x 0,6
 0.5
 c) Ta có f x 10000 13000 x 0,6 , nÕu 0,6 x 25 .
 327200 11000 x 25 , nÕu 25 x 500
2c Khi x 300 ta có f 300 327200 11000 300 25 3352200 (đồng).
 TXĐ: 0;500. 0.25
 +) Với 0 x 0,6 thì f x 10000 là hàm hằng nên liên tục.
 +) Với 0,6 x 25 thì f x 10000 13000 x 0,6 là hàm đa thức bậc 
 nhất nên liên tục.
 0.25
 +) Với 25 x 500 thì f x 327200 11000 x 25 là hàm số bậc nhất nên 
 liên tục.
 +) Tại x 0,6 : f 0,6 10000.
 lim f x lim 10000 10000 , 0.25
 x 0,6 x 0,6 
 lim f x lim 10000 13000 x 0,6 10000 .
 x 0,6 x 0,6 
 Do lim f x lim f x f 0,6 nên f x liên tục tại x 0,6 .
 x 0,6 x 0,6 
 +) Tại x 25 : f 25 327200 , 0.25
 lim f x lim 10000 13000 x 0,6 327200 ,
 x 25 x 25 0.25
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 lim f x lim 327200 11000 x 25 327200 .
 x 25 x 25 
 0.25
 Do lim f x lim f x f 25 nên f x liên tục tại x 25 .
 x 25 x 25 
 Vậy f x liên tục trên đoạn 0;500.
 Câu 3. (4,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang 
 AD 2BC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SD, SC . 
 a) Chứng minh BN / /mp MAC .
 b) Gọi I là trung điểm của AD , P BM  SCI , Q AN  SBI . Tính tỉ 
 số PQ .
 AD
 Hình 
 vẽ hết 
 câu a) 
 0.5 
 điêm.
3a
 0.5
 0.5
 a) Gọi F là trọng tâm tam giác VSCD , E AC  BD .
 DE DA DF
 Ta có 2, 2 (F là trọng tâm tam giác SCD) suy ra 0.5
 EB BC FN
 DE DF
 2 EF / /BN .
 DB FN
 Mà EF  mp MAC , BN  mp MAC EF / /mp MAC .
 b) Gọi G CI  BD, K BI  AC .
 Trong mp SBD : BM  SG P thì P là giao điểm của BM với mp(SCI). 0.5
 Trong mp SAC : AN  SK Q thì Q là giao điểm của AN với mp(SBI).
 0.5
3b Do ABCD là hình thang có AD 2BC nên có được AI song song và bằng 
 BC, DI song song và bằng BC nên các tứ giác ABCI, DCBI là các hình 
 bình hành, suy ra K, G lần lượt là trung điểm của AC và BD.
 Từ đó: P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác SBD và SAC nên 
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 PQ 2 0.5
 .
 GK 3
 Tam giác IBC có PQ là đường trung bình suy ra 
 GK 1 GK 1 PQ 2 1 1 0.5
 . .
 BC 2 AD 4 AD 3 4 6
 Câu 4. (1,5 điểm) Một đội bóng học sinh gồm 10 cầu thủ được khoác áo 
 số từ 1 đến 10. Trong một buổi tập, huấn luyện viên xếp ngẫu nhiên 7 
 cầu thủ trong đội bóng thành một hàng ngang. Tính xác suất để xếp được 
 hàng ngang có các cầu thủ khoác áo số 1,2,3,4 trong đó hai cầu thủ có áo 
 số 1 và áo số 2 đứng cạnh nhau đồng thời hai cầu thủ áo số 3 và áo số 4 
 cũng đứng cạnh nhau?
 7
 Ta có n  A10 604800.
 Gọi A là biến cố xếp 7 cầu thủ trong đội thành một hàng trong đó có các 0.25
4 cầu thủ khoác áo số 1,2,3,4 đồng thời các cầu 1 và 2 đúng cạnh nhau và 
 hai cầu thủ 3 và 4 cũng đứng cạnh nhau. 
 3 0.25
 Chọn 3 cầu thủ a,b,c trong 6 cầu thủ còn lại có C6 cách chọn.
 Xem 1 và 2 cạnh nhau là x; 3 và 4 cạnh nhau là y thì có 5! cách xếp cho 
 a, b, c, x, y. Trong mỗi cách xếp này có 2! Cách xếp cho hai cầu thủ số 1 
 0.5
 và 2; 2! Cách xếp cho hai cầu thủ số3 và số 4.
 3
 Vậy có 5!2!2!C6 9600 (cách) n A 9600 .
 n A 9600 1 0.5
 Vậy P A .
 n  604800 63
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 4
 SỞ GD & ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2024 - 2025
 THPT PHAN THÚC TRỰC MÔN: TOÁN – PHẦN TRẮC NGHIỆM
 Thời gian: 50 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ và tên:... Số báo danh: Mã đề 135
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 
12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. 
Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. 
Khẳng định nào sau đây SAI?
A. G1G2 // ABD . B. G1G2 // ABC .
 2
C. BG , AG và CD đồng quy. D. G G AB .
 1 2 1 2 3
Câu 2. Cho các giới hạn: lim f x 2 ; lim g x 3 , hỏi lim 3 f x 4g x bằng
 x x0 x x0 x x0
A. 6 . B. 5 . C. 2 . D. 3 .
 r
Câu 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A 2; 3 và véc tơ v 2;1 . Phép tịnh tiến 
Tr (A) A'
v . Toạ độ điểm A’
A. A' 2; 3 . B. A' 0; 4 . C. A' 4; 3 . D. A' 4; 2 .
 2x2 3x 5
Câu 4. Tính lim .
 x 4x2 x 3
 1
A. . B. 2. C. 0 . D. .
 2
 2x2 3x 5 x cos x
Câu 5. Trong các hàm số f x ; g x sin x 2 ; h x ; k x có 
 4x2 x 3 x2 1 sin x 2
mấy hàm số liên tục trên ¡ .
A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 6. Anh Văn ghi lại cự li 30 lần ném lao của mình ở bảng sau (đơn vị: mét) rồi Tổng hợp 
lại kết quả ném của anh Văn vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
 Cự li (m) [69,2;70) [70;70,8) [70,8;71,6) [71,6;72,4) [72,4;73,2)
 Sồ lần 4 2 9 10 5
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
Khả năng cao nhất anh Văn ném được khoảng bao nhiêu mét?
A. 72,8. B. 72. C. 71,7. D. 47,7.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông 
góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳng định nào sau đây 
đúng?
A. BC  SAC . B. AK  SCD . C. AH  SCD . D. BD  SAC .
 u4 10
Câu 8. Cho cấp số cộng un thỏa mãn có công sai là
 u4 u6 26
A. d 5 . B. d 3 . C. d 6 . D. d 3.
 sin x
Câu 9. Tập xác định của hàm số y là
 1 cos x
 
A. D ¡ . B. D ¡ \ k ,k ¢  .
 2 
C. D ¡ \ k2 ,k ¢. D. D ¡ \ k ,k ¢ .
Câu 10. Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm 
đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng 3 độ cao trước đó. Tính tổng 
 4
quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.
A. 40 m. B. 80 m. C. 50m. D. 70 m.
Câu 11. Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của cửa hàng TA 
được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
 Doanh thu [5;7) [7;9) [9;11) [11;13) [13;15)
 Số ngày 2 7 7 3 1
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. [9;11) . B. [13;15) . C. [11;13) . D. [7;9) .
Câu 12. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi O AC  BD . Giao 
tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là
A. Đường thẳng qua S song song với BD.
B. đường thẳng qua S song song với AC.
C. SO, với O AC  BD .
D. SC.
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), 
b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số f (x) sin 2x x .
a) f (0) 0 ; f .
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f (x) cos 2x 1.
 2 
c) Trên đoạn 0; , phương trình f (x) 0 có đúng 2 nghiệm là và 
 3 3
 3 
d) Giá trị lớn nhất của f (x) trên đoạn 0;  là .
 2 3
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có SAC  (ABC); SAB  (ABC), SA a và đáy ABC là tam 
giác vuông tại A, AB a, AC a 3 . Kẻ AM vuông góc với SB tại M, AN vuông góc với SC 
tại N.
 Hình 7.57
a) SA  (ABC)
 a3 3
b) Thể tích của hình chóp S.ABC bằng V 
 S.ABC 6
 V 1
c) S.AMN 
 VS.ABC 6
 a3 3
d) V 
 S.AMN 48
Câu 3. Ông Bình trồng cây vào khu vườn hình tam giác theo cách như sau: hàng thứ nhất 
trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây và cứ thế hàng ngay sau trồng 
nhiều hơn 1 cây.
a) Hàng thứ mười ông Bình phải trồng 10 cây
b) Cây thứ 100 ông Bình trồng vào hàng thứ 13
c) Ông có 3003 cây thì phải trồng 77 hàng.
d) Vườn ông Bình trồng được 100 hàng cây, giá mỗi cây ông Bình mua để trồng là 5000 
đồng. ông Bình chi phí tiền cây là 25 triệu đồng.
Câu 4. Bạn An làm bài thi trắc nghiệm đúng sai gồm 4 câu hỏi mỗi câu 1 điểm, trong đó bạn 
An làm chắc chắn đúng hai câu, hai câu còn lại bạn chọn ngẫu nhiên đúng hoặc sai.
 1
a) Xác suất để bạn An được 4 điểm phần thi trắc nghiệm đúng sai là .
 256
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 1
b) Xác suất để bạn An được 3,5 điểm phần thi trắc nghiệm đúng sai là .
 32
 1
c) Xác suất để bạn An được 2 điểm phần thi trắc nghiệm đúng sai là .
 32
 9
d) Xác suất để bạn An được 3 điểm phần thi trắc nghiệm đúng sai là .
 128
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.
Câu 1. Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với 
giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, 
người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3000 khán 
giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu (nghìn) để doanh thu từ tiền bán vé là lớn 
nhất?
Câu 2. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Trên các cạnh AA , BB , CC lần lượt lấy ba điểm M , 
 A M 1 B N 2 C P 1
N , P sao cho , , . Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD tại Q. Tính tỉ 
 AA 3 BB 3 CC 2
 D 'Q a
số . Tính T = a + b.
 DD ' b
 ------------HẾT------------
 DeThiHay.net