Tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 8 (50 Đề kèm đáp án)

 Tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 8 (50 Đề kèm đáp án) - DeThiHay.net
 Vậy x; y 1;12 
Câu 3 (4 điểm)
 Ta có: O là trung điểm BC và AD (GT)
 3.a) Suy ra: Tứ giác ABCD có hai đường chéo BC và AD cắt nhau tạo 
 0,5
 (1 điểm) điểm O là trung điểm mỗi đường.
 0,25
 Do đó tứ giác ABCD là hình bình hành.
 0,25
 Mà B· AC 900 (Vì ABC vuông tại A)
 Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
 Xét ACK vuông tại K và DBH vuông tại H có:
 3.b) AC BD; K· AC H· DB (Vì ABDC là hình chữ nhật)
(1,5 điểm) Suy ra ACK DBH (cạnh huyền - góc nhọn) 0,5
 CK BH.
 Ta có: BH / /CK (cùng vuông góc với AD ) và BH CK (cmt) 0,5
 Do đó: tứ giác BHCK là hình bình hành, suy ra BK / /CH. 0,5
 Ta có BM / /CN; BN / /CM , do đó tứ giác BMCN là hình bình hành
 Mà O là trung điểm của BC, suy ra Ba điểm M ,O, N thẳng hàng
 c. Vì ABDC là hình chữ nhật nên ta có AD BC BE,
 suy ra BEC cân tại B, nên B· EC B· CE.
 Lại có BM / /CN B· EC N· CE (so le trong) B· CE N· CE (1).
 Vì ABDC là hình chữ nhật nên C· BD C· AD 0,5
 3.c)
 Suy ra ·ACN D· CB (cùng phụ với C· AD,C· BD ). (2) 0,5
(1,5 điểm)
 Từ (1) và (2) ta được C· AN N· CE D· CB B· CE . 0,5
 suy ra ·ACE D· CE .
 Nên CE là tia phân giác của góc vuông D· CA 450 .
 Vậy D· CE 450.
 DeThiHay.net Tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 8 (50 Đề kèm đáp án) - DeThiHay.net
Câu 4 (1 điểm)
 Cho a,b,c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
 1 1 1 
 P a b c .
 a b c 
 Ta có: 
 a a b b c c
 P 1 1 1
 b c a c a b
 a b a c b c
 P 3 
 b a c a c b
 Vì a;b là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số 0,25
 a b a b a b 0,25
 và ta có 2 . 2.
 b a b a b a
 Tương tự ta có: 
 a c a c
 2 . 2.
 c a c a
 b c b c 0,25
 2 . 2. 
 c b c b 0,25
 Do đó 
 a b a c b c
 2 2 2 6.
 b a c a c b
 a b a c b c
 3 9.
 b a c a c b
 P 9.
 Dấu “=” xảy ra khi a b c.
 Vậy PMax 9 khi a b c.
 DeThiHay.net Tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 8 (50 Đề kèm đáp án) - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 4
 UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024
 Môn thi: Toán- Lớp 8
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN CHUNG (dành cho tất cả các thí sinh)
Bài 1. (4,0 điểm) 
 x2 x x 1 1 2 x2 
1) Rút gọn biểu thức: với (x 0; x 1)
 P 2 : 2 
 x 2x 1 x x 1 x x 
2) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x4 – 5x2 + 4;
 243
3) Cho 4x2 – 10x + 3 = 0. Tính giá trị của biểu thức: Q 32x5 .
 32x5
Bài 2. (3,0 điểm) 
1) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn điều kiện: x2 2y2 2xy y 2 .
 2
2) Tìm các số tự nhiên n để n2 8 36 là số nguyên tố.,x-2.+xy=2022x+2023y+2024
Bài 3. (3,0 điểm) 
1) Tìm đa thức f x biết f x chia cho x 3 dư 2; f x chia cho x 4 dư 9 và f x 
chia cho x2 x 12 được thương là x2 3 và còn dư.
2) Giải phương trình: 2x 5 3 2 x 3 x -3 3 x -3 7x2 2052x 2054 
Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường caoAD; BE và CF cắt nhau tại H . 
Qua B kẻ đường thẳng song song vớiCF cắt tiaAD tại K . 
1) Chứng minh AEF đồng dạng ABC
 HD HE HF
2) Chứng minh AB2 AD.AK và 1
 AD BE CF
3) Gọi I là trung điểm BC . Tia HI cắt BK tại N. Chứng minh AN vuông góc EF
II. PHẦN RIÊNG
1. Dành cho thí sinh bảng A
Bài 5. (4,0 điểm)
 28 1
1) Cho x 0, y 0 và x 3 y . Tìm GTNN của biểu thức: A 2x2 y2 2023
 x y
2) Cho tam giác ABC,M là điểm di chuyển trên đoạn BC.Từ M kẻ MD song song với 
AC,ME song song với AB (D thuộc AB; E thuộc AC).Xác định vị trí của M để diện tích tứ 
giác ADME lớn nhất.
 DeThiHay.net Tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 8 (50 Đề kèm đáp án) - DeThiHay.net
3) Giải bóng đá của một trường THCS có 10 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai 
đội bất kỳ đều thi đấu với nhau một trận và phân rõ thắng - thua). Biết rằng đội thứ nhất 
thắng a1 trận và thua b1 trận, đội thứ hai thắng a2 trận và thua b2 trận, ... , đội thứ 10 thắng 
 2 2 2 2 2 2 2 2
 a10 trận và thua b10 trận. Chứng minh rằng: a1 a2 a3 ... a10 b1 b2 b3 ... b10 .
2. Dành cho thí sinh bảng B
Bài 5. (4,0 điểm) 
1) Cho đa thức f (x) ax2 bx c nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên chứng minh rằng 
 2a ;b a và c là các số nguyên và ngược lại.
2) Cho x, y là các số lớn hơn hoặc bằng 1. 
 1 1 2
Chứng minh rằng: 
 1 x2 1 y2 1 xy
 ---------HẾT---------
 DeThiHay.net Tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 8 (50 Đề kèm đáp án) - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
 Bài 1 Hướng dẫn giải Thang điểm
 1.1
 x2 x x 1 1 2 x2 
 P 2 : 2 
 x 2x 1 x x 1 x x
 0,25 đ
 x(x 1) x2 1 x 2 x2 
 P 2 : 
 (x 1) x(x 1) x(x 1) x(x 1) 
(1,5 điểm)
 x(x 1) x 1 0,25 đ
 P :
 (x 1)2 x(x 1)
 x(x 1) x(x 1)
 P .
 (x 1)2 x 1 0,5 đ
 x2
 P 
 x 1
 0,5 đ
 x2
 Vậy P ( với x 0; x 1; x 1 )
 x 1
 x4 5x2 4 0.5
 x4 4x2 x2 4
 1.2 
 4 2 2 0.25
(1,5điểm) x 4x x 4 
 2 2 2 0,25
 x x 4 x 4 
 x2 4 x2 1
 0,25
 x 2 x 2 x 1 x 1 0,25
 + Ta thấy x = 0 thì VT 3 VP x 0 không phải là nghiệm của 
 phương trình 4x2 10x 3 0 (1). Do đó x 0 .
 3 3
 (1) 2x 5 0 2x 5 0.25
 2x 2x
 a 2x
 1.3 a b 5
 Đặt : 3 
(1,0 điểm) b a.b 3 0.25
 2x
 5
 5 243 5 3 5 5
 Mà: Q 32x 5 2x a b
 32x 2x 0,25
 *a2 + b2 = (a + b) 2 - 2ab = 19
 *a3+b3 = (a + b) 3 - 3ab(a + b) = 80
 Q = a5 + b5 = (a2 + b2)(a3 + b3) - a2b2 (a + b) = 19.80 - 32.5 = 1475 0,25
 Bài 2 Hướng dẫn giải Thang điểm
 DeThiHay.net Tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 8 (50 Đề kèm đáp án) - DeThiHay.net
 x2 2y2 2xy y 2
 4x2 8y2 8xy 4y 8
 (2x 2y)2 (2y 1)2 9 0,5 đ
 Mà 9 = 02 + 32
 0,5 đ
 Mà 2y 1 là số nguyên lẻ nên 2y 1 3
 * Trường hợp 1:
 2.1 2y 1 3
(1,5 điểm) y 1
 Suy ra x 1
 0,5 đ
 * Trường hợp 2:
 2y 1 3
 y 2
 Suy ra: x 2
 Vậy x 1; y 1 hoặc x 2; y 2
 n2 – 6n + 10)(n2 + 6n + 10)
 - Để (n2 – 8)2 + 36 là số nguyên tố thì:
 0,5 đ
 n2 – 6n + 10 = 1 hoặc n2 + 6n + 10 = 1
 2.2 2 2
 Xét n - 6n + 10 = 1 Û (n - 3) = 0 Û n = 3 0,5 đ
(1,5điểm)
 Khi đó (n2 – 8)2 + 36 = 37 là số nguyên tố (thoả mãn)
 Xét n2 + 6n + 10 = 1 Û (n + 3)2 = 0 Û n = - 3(loại do n là số 0,5 đ
 tự nhiên)
 Vậy n = 3 thoả mãn bài toán.
 Bài 3 Hướng dẫn giải
 1) Do f(x) chia cho x2 x 12 x 3 x 4 được thương là 
 x2 3 còn dư nên ta có : f x x 4 x 3 x2 3 a.x b 0.5
 3.1. 
 Cho x 4 f x 4a b 9
(1,5điểm) 0.5
 Cho x 3 f x 3a b 2
 4a b 9 a 1
 Khi đó ta có hệ: 
 3a b 2 b 5 0,5
 3.2 Ta có 2x 5 3 2 x 3 x -3 3 x -3 7x2 2052x 2054 0,5 
(1,5điểm)
 Áp dụng hằng đẳng thức a3 b3 a b 3 3ab a b vào vế trái 
 phương trình với a 2x 5;b 2 x ta được:
 3 3 3
 2x 5 2 x = x 3 3 2x 5 2 x x 3 0,5
 DeThiHay.net Tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 8 (50 Đề kèm đáp án) - DeThiHay.net
 Khi đó phương trình trở thành
 3 2x 5 2 x x 3 x 3 7x2 2052x 2054 
 x 3 7x2 2052x 2054 3 2x2 9x -10 0
 0,5
 3 x x2 2025x 2024 0
 3 x x 1 x 2024 0
 x 3
 x 1
 x 2024
 Câu 4 Hướng dẫn giải
 A
 J
 E
 M
 F
 H
 B D I C
 K
 N
 Ta có BE  AC nên ·AEB 900
 Ta có CF  AB nên ·AFC 900
 0,25
 · · 0 ·
 Xét AEB và AFC có AEB AFC 90 ;BAC chung 0,25
 Suy ra AEB AFC (G-G)
 AE AB AE AF 0,5
 4.1. 
 AF AC AB AC 0,25
(2,0 điểm) Xét AEF và ABC có: 
 B· AC chung 0,5
 AE AF
 (Chứng minh trên) 0,25
 AB AC
 Suy ra AEF ABC (C-G-C)
 Ta có 0,25
 BK / /CF mà CF  AB Suy ra BK  AB ·ABK 900
 · 0 0,25
 4.2. AD  BC ADB 90
(2,0 điểm) ·ABK ·ADB 900
 Xét ABD và AKB có
 0,25
 ·ABK ·ADB 900 
 DeThiHay.net Tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 8 (50 Đề kèm đáp án) - DeThiHay.net
 B· AK chung 0,25
 Suy ra ABD AKB (g-g)
 AB AD
 AB2 AD.AK (đpcm)
 AK AB 0,25
 Ta có 
 HD S
 HBC ( HBC và ABC có chung cạnh đáy BC)
 AD S
 ABC 0,25
 HE S
 AHC ( AHC và ABC có chung cạnh đáy AC)
 BE S
 ABC 0,25
 HF S
 HAB ( HAB và ABC có chung cạnh đáy AB)
 CF SABC
 HD HE HF SHBC SAHC SHAB SABC
 1 (đpcm) 0,25
 AD BE CF SABC SABC
 Ta có CF / /BN (GT) suy ra I·BN I·CH (hai góc so le trong)
 Xét IBN và ICH có 0,25
 B· IN C· IH (đối đỉnh)
 IB IC (GT)
 I·BN I·CH (chứng minh trên) 0,25
 Do đó IBN ICH G C G 
 IH IN (hai cạnh tương ứng) 0,25
 I là trung điểm HN
 Gọi J là trung điểm AH
 4.3. Xét AHN có 0,25
(2,0 điểm) I là trung điểm HN (Chứng minh trên)
 J là trung điểm AH (cách vẽ) 0,25
 IJ là đường trung bình của AHN
 Suy ra IJ / / AN (1) 0,25
 BC 
 Chỉ ra IE IF 
 2 0,25
 AH 
 Chỉ ra JE JF 
 2 
 IJ là trung trực của EF . Suy ra IJ  EF (2) 0,25
 Từ (1) và (2) suy ra AN vuông góc EF (đpcm)
 Câu 5 Hướng dẫn giải
 28 1
 Ta có A 2x2 y2 2023
 x y
 DeThiHay.net Tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 8 (50 Đề kèm đáp án) - DeThiHay.net
 28 1 2 2 0,75
 7x y 2x y 7x y 2023
 x y 
 1. 28 1 2 2
 7x y 2x 8x 8 y 2y 1 x y 2014
 (1.5đ) x y 
 28 1 2 2
 7x y 2 x 2 y 1 x y 2014
 x y 0,75
 Áp dụng BĐT AM- GM cho hai số không âm ta được 
 1 1 28 28
 y 2 .y 2 ; 7x 2 .7x 28 
 y y x x
 Lại có 2 x 2 2 0, y 1 2 0, x y 3 suy ra A 2047
 Dấu bằng xảy ra khi x 2, y 1 . Vậy GTNN của A là 2047 tại 
 x 2, y 1
 A
 2 D
(1,5điểm)
 E 0,25
 a2
 b2
 B C
 M 0,25
 2 2
 Đặt SABC S; SBDM a ; SCME b
 Chứng minh BDM : BAD
 2 2
 SBDM BM a
 Suy ra 0,25
 SBAC BC S
 2 2
 SCME CM b
 Tương tự: 
 SBAC BC S
 a b BM CM
 Suy ra 1 0,5
 S S BC BC
 Suy ra: S a b 2
 2
 a b 1 0,25
 Suy ra S 2ab S
 ADME 2 2 ABC
 Dấu “=” xảy ra khi a = b, khi M là trung điểm BC.
 Vì 10 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất 
 kỳ đều thi đấu với nhau một trận), nên mỗi đội bóng sẽ lần lượt 
 thi đấu với 9 đội bóng còn lại. Các trận đấu luôn có 1 đội 
 DeThiHay.net Tài liệu luyện thi học sinh giỏi Toán 8 (50 Đề kèm đáp án) - DeThiHay.net
 thẳng, 1 đội thua, Do đó: 0,5
 + Mỗi đội bóng sẽ thi đấu 9 trận ai bi 9 1 i 10;i N 
 bi 9 ai .
 10.9
 + Tổng số trận đấu là 45 trận, Tổng số trận thắng của 10 
 2
 3
 đội bằng tổng số trận đấu a1 a2 ... a10 45 .
(1 điểm) 2 2 2 2
 Xét: b2 b2 b2 ... b2 9 a 9 a 9 a ... 9 a 
 1 2 3 10 1 2 3 10 0,5
 2 2 2 2
 81 18a1 a1 81 18a2 a2 81 18a3 a3 ... 81 18a10 a10
 2 2 2 2
 810 18 a1 a2 a3 ... a10 a1 a2 a3 ... a10
 2 2 2 2 2 2 2 2
 810 18.45 a1 a2 a3 ... a10 a1 a2 a3 ... a10 .
 2 2 2 2 2 2 2 2
 Vậy a1 a2 a3 ... a10 b1 b2 b3 ... b10 .
 2ax(x 1)
 f (x) (b a)x c
 2 0,5
 *Vì đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên nên chọn x 
(2.5 điểm) lần lượt các giá trị 0;1;-1 ta có 2a; b- a; c nguyên 1,0
 * Ngược lại 
 x nguyên; 2a nguyên; b-a nguyên; c nguyên thì đa thức nhận giá 1,0
 trị nguyên với mọi x nguyên ( chú ý x(x+1) chia hết cho 2
 1 1 2
 1 
 1 x2 1 y2 1 xy
 1 1 1 1 
 2 2 0 0.5
 1 x 1 xy 1 y 1 xy 
 x y x y x y 
 0
(1.5 điểm) 2 2
 1 x 1 xy 1 y 1 xy 0.5
 y x 2 xy 1 
 0 2 
 1 x2 1 y2 
 Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 (2) 0.5
 BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng . Dấu " "xảy ra khi x y
 DeThiHay.net