Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (40 Đề kèm lời giải)

 Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
1. Phần trắc nghiệm khách quan: Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
 Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8
 C C B D B A D B
 Câu 9 Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16
 C A D A B C C A
2. Phần tự luận:
 Nội dung Điểm
Câu 1. 
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x 2 146 x 3 2 y 3 0 .
 3,0
2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn 2n 7 và 3n 10 là các số chính phương. Chứng minh 
rằng n 340.
1. 2x 2 146 x 3 2 y 3 0 x 3 2x 2 y 9 128
 0,5
Vì 2x 2y 9  2 nên ta có bảng
 x 3 128 128 0,25
 2x 2 y 9 1 1
 x 131 125 0,5
 y 135 120
 0,25
Vậy x, y 131;135 ; 125; 120 
2. Vì 2n 7 là số chính phương lẻ nên 2n 7  1 mod 8 n 3  0 mod 4 0,5
Suy ra 3n 10 là số chính phương lẻ 3n 10  1 mod 8 n 3  0 mod 8 0,5
Ta có 2n 7 3n 10 5n 17  2 mod 5 2n 7  1 mod 5 n 3  0 mod 5 0,25
Suy ra n 340 0,25
Câu 2. 
1. Giải phương trình x 2 2 2x 1 2x 7 5.
 1 1 3 4,0
2. Cho hai số thực phân biệt a,b 0 thỏa mãn 1. Tính giá trị biểu thức 
 a3 b3 ab
 2024
A a 1 b 1 2023 
1. (x + 2)2 (2x + 1)(2x + 7) = - 5 ⇒ (2x + 4)2(2x+1)(2x+7) = - 20 0,25
Đặt 2x 4 t . Ta có phương trình t2(t – 3)(t + 3) = -20 0,25
t2(t2 – 9) = - 20 ⇒ (t2 – 4)(t2 – 5) = 0 0,5
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 2x 4 2 0,5
 2 
 t 4 2x 4 2
 t 2 5 2x 4 5
 2x 4 5
 x 1
 x 3 0,5
 5 4 5 4 
 5 4 . Vậy S 1; 3; ; 
 x 2 2 
 2 
 5 4
 x 
 2
 3 3
 1 1 3 1 1 3 1 1 0,5
2. Ta có 3 3 1 1 3. . . 1 0
 a b ab a b a b
 1 1 1 1 1 1 1 
 1 2 2 1 0
 a b a b ab a b 0,5
 2 2 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Vì 1 1 1 0 (vì a b )
 2 2 0,5
 a b ab a b 2 a b a b 
 1 1
Suy ra 1 0 a b ab ab a b 0
 a b 0,25
 2024
A a 1 b 1 2023 ab a b 1 2023 2024 20242024
 0,25
Câu 3.
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng BD.DC DH.DA.
b) Chứng minh rằng điểm H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
c) Gọi M , N , P,Q, I , K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,CA, AB , EF , FD, DE. 4,0
Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại một điểm.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Hai đường phân giác trong BD,CE cắt nhau tại O . 
 BD2 CE 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
 BO2 CO2
1. A
 E
 Q
 F
 P H N
 K
 I
 B D M C
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 BD DH
a) Chỉ ra được BDH : ADC(g.g) BD.DC DH.DA
 AD DC
b) Chứng minh được AEF : ABC c.g.c ·AEF ·ABC
 1,0
Tương tự: D· EC ·ABC. Do đó ·AEF D· EC
 0,25
 · · · · 0 · ·
Mà AEF HEF DEC HED 90 nên HEF HED 0,25
 EH là phân giác của góc FED . Chứng minh tương tự có FH là phân giác của góc 0,25
EFD 0,25
Do đó H là giao của các đường phân giác trong của tam giác DEF . Suy ra điều phải 
chứng minh. 0,25
 1
c) Do BEC vuông tại E , M là trung điểm BC nên EM BC (trung tuyến ứng với 
 2
 1
cạnh huyền), Tương tự: FM BC 0,25
 2 0,25
Do đó: EMF cân tại M , mà Q là trung điểm EF 0,25
 MQ là đường trung trực của EF
Tương tự, chứng minh được NI và PK cũng là đường trung trực của tam giác 
DEF nên ba đường thẳng MQ, NI,PK đồng quy tại một điểm.
2. Cho tam giác ABC vuông tại 
A . Hai đường phân giác trong 
BD,CE cắt nhau tại O . Tìm giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức 1,0
BD2 CE 2
 .
BO2 CO2
Xét ABC có BD là đường phân giác trong nên 
CD BC CD BC CD BC CD AC
 .
AD AB AD CD AB BC AC AB BC BC AB BC
Xét BCD có CO là đường phân giác trong nên 
OD CD AC OD OB AC AB BC BD AC AB BC
 .
OB BC AB BC OB AB BC BO AB BC
 CE AC AB BC 0,25
Tương tự ta có .
 CO AC BC
 2
 BD CE AC AB BC AC AB BC AC AB BC 
Suy ra . . .
 BO CO AB BC AC BC AB BC AC BC 
Đặt BC a; AC b; AB c . 0,25
Tam giác ABC vuông tại A nên BC 2 AB 2 AC 2 a 2 b 2 c 2 .
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
Như vậy
 2 2
BD CE AC AB BC a b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
 . 
BO CO AB BC AC BC a b a c a2 ac ab bc
 2 2
 b2 c2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 2 b c ab bc ca 
 2
 b2 c2 ac ab bc b2 c2 ac ab bc
 2 2 0,25
BD CE BD CE
 2. . 4
BO2 CO2 BO CO
 BD2 CE 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 4. 
 BO2 CO2 0,25
Dấu ‘=’ xảy ra VABC vuông cân tại A
 2
Câu 4. Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0. Tìm giá 
 1,0
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2.
 2
 x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 x4 y4 2x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0
 2 0,25
 x4 2x2 y2 y4 x2 2y2 0 x2 y2 2 x2 y2 1 3x2 1
 2
 x2 y2 1 3x2 1
 2
Ta có: 3x2 1 1x x2 y2 1 1 1 x2 y2 1 1 0 A 2 0,25
 x 0
 Vậy min A 0 x y 0
A 0 2 2 x y 0. 0,25
 x y 0
 x 0 x 0 x 0
 . Vậy 
A 2 2 2 2 max A 2 2
 x y 2 y 2 y 2 0,25
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 5
 TRƯỜNG THCS CAO XUÂN HUY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
 VÒNG 2 - NĂM HỌC 2022 – 2023
 Môn: Toán – Lớp 8
 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm) 
 1 2x 1 2y
1) Cho x, y là các số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: 1.
 1 x 1 y
Chứng minh M = x2 + y2 – xy là bình phương của một số hữu tỷ.
2) Cho đa thức f x . Tìm số dư của phép chia f x cho x 1 x 2 , biết rằng f x chia 
x 1 dư 7 và f x chia x 2 dư 1.
Câu 2. (4,0 điểm) 
1) Tìm hai số nguyên dương x, y thỏa mãn: x y 4 40x 1 .
2) Giải phương trình: 3x 2 x 1 2 3x 8 16
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. 
 1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
 x2 x y2 y z2 z
 m2 2n
 m,n m2 n2 24mn
2) Cho là hai số nguyên dương lẻ thỏa mãn 2 . Chứng minh: .
 n 2m
Câu 4. (7,0 điểm)Cho tam ABC vuông tại A, có đường cao AH và trung tuyến BN. Qua A 
kẻ đường thẳng vuông góc với BN cắt BN và BC lần lượt tại K và M. 
Chứng minh rằng:
 1 1 4
a) .
 AK 2 AB2 AC 2
b) B· KH B· AH
 2 1 1
c) .
 MB BH BC
Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình vuông có cạnh bằng 2023cm. Bên trong hình vuông, người ta lấy 
2022 điểm phân biệt sao cho trong 2026 điểm (tính cả 4 đỉnh hình vuông) không có 3 điểm 
nào thẳng hàng. Chứng minh rằng, tồn tại 1 tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 2026 điểm đã 
 2023
cho (tính cả 4 đỉnh hình vuông) có diện tích không lớn hơn cm2.
 2
 ----------HẾT----------
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) Ta có: 
1 2x 1 2y
 1 1 2x 1 y 1 2y 1 x 1 x 1 y 
1 x 1 y
 1 y 2x 2xy 1 x 2 y 2xy 1 x y xy
 3xy 2x 2 y 1
 M x2 y2 xy x y 2 3xy
 x y 2 2x 2 y 1 x y 2 2 x y 1 x y 1 2
Mà x, y là các số hữu tỷ khác 1
 M x2 y2 xy là bình phương của một số hữu tỷ (đpcm).
b) Gọi dư của phép chia f x cho x 1 x 2 là ax b.
Ta có: f x p x . x 1 7 q x . x 2 1 k x x 1 x 2 ax b.
 a b 7 3a 6 a 2
Thay x 1, x 2 được: .
 2a b 1 b 7 1 b 5
Dư cần tìm là: 2x 5.
Câu 2. 
1) Vì x; y N * x y 4 40x 1 40x 40y 40 x y x y 3 40 x y 4
Do đó: 2 x y 4
Mặt khác: 40x 1là số lẻ nên x y 4 là số lẻ x y là số lẻ
Ta có: 2 x y 4 , x y là số lẻ x y 3
Từ đó: x; y 2;1 ; 1;2 
Thử lại chỉ có cặp số x; y 2;1 thỏa mãn bài toán .
Vậy x 2; y 1.
2) Ta có: 3x 2 x 1 2 3x 8 16 3x 2 9 x 1 2 3x 8 144
 3x 2 3x 3 2 3x 8 144
Đặt 3x 3 t 3x 2 t 5, 3x 8 t 5, ta có phương trình: 
 t 5 t 2 t 5 144 t 2 25 t 2 144
 t 4 25t 2 144 0 t 2 9 t 2 16 0
 t 2 9 t 3
 2 
 t 16 t 4
Với t 3 3x 3 3 x 0
Với t 3 3x 3 3 x 2
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 1
Với t 4 3x 3 4 x 
 3
 7
Với t 4 3x 3 4 x 
 3
 1 7 
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0; 2; ;  .
 3 3 
Câu 3
 1 1 1 1 1 1
a) P 
 x2 x y2 y z2 z x(x 1) y(y 1) z(z 1)
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 
 1 1 1 9 1 1 1 1 
Áp dụng BĐT và . với a,b, c dương, dấu bằng xảy ra 
 a b c a b c a b 4 a b 
 a b c.
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Ta có . 1 ; . 1 ; . 1 
 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Bởi vậy P . 1 1 1 
 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z 
 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3
= . . .
 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2
 3
Vậy Min P= . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z 1.
 2
b) +) Vì m,n là hai số nguyên dương lẻ nên ta đặt m 2a 1, n 2b 1 a,b ¥ .
Khi đó ta có: m2 n2 2 4 a2 b2 4 a b 44 1 
 m2 2n
+) Vì nên m2 2 n2 2 mn m2n2 2 m2 n2 2 mn 2 m 2 n2 2 mn
 n2 2m
Vì m,n lẻ nên 2,mn 1. 
Do đó m 2 n2 2mn 2 
Từ 1 , 2 và 4,mn 1 nên suy ra m 2 n2 24mn .
Câu 4. 
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 1 1 1
a) Dễ dàng chứng minh được . mà AC = 2.AN
 AK 2 AB2 AN 2
 1 1 4
 .
 AK 2 AB2 AC 2
 AB BN
b) Chứng minh được BKA ∽ BAN (g.g) AB2 BK.BN (1)
 BK AB
 AB BC
Chứng minh được BHA ∽ BAC (g.g) AB2 BH.BC (2)
 BH AB
 BH BN
Từ (1) và (2) suy ra BK.BN = BH.BC 
 BK BC
 BH BN
Xét BHK và BNC , có: N· BC chung và 
 BK BC
Suy ra BHK ∽ BNC B· KH ·ACB mà B· AH ·ACB B· KH B· AH
c) Kẻ NI  BC tại I, ta có AH//NI (vì cùng vuông góc với BC)
Vì N là trung điểm của AC nên I là trung điểm của HC
Chứng minh được BKM ∽ BIN (g.g) suy ra được MB.BI = BK.BN(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có BM.BI = BH.BC BM.2BI = 2BH.BC
 2 1 1
 BM.(BH + BC) = 2BH.BC 
 BM BH BC
Câu 5. 
Số tam giác được tạo thành: 4 + 2.2021 = 4046
Mà tổng diện tích của 4046 tam giác này bằng 20232 cm2
 20232 2023
Nên tồn tại 1 tam giác có diện tích không lớn hơn cm2
 4046 2
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 6
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI 
 TẠO Môn Toán: 8
 HUYỆN TIỀN HẢI NĂM HỌC 2022-2023 
 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (5,0 điểm)
1) Phân tích đa thức x3 7x 6 thành nhân tử.
2) Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn đẳng thức: 2x 2 2xy y2 2x 1 0 .
 2x 9 x 3 2x 4
3) Cho biểu thức: A với x 2, x 3.
 x2 5x 6 x 2 3 x
Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 2. (4,0 điểm) 
 2x 5 2x 2 3
1) Giải phương trình: .
 x2 5x 4 (x 2)(x 4) 2
2) Đa thức f(x) khi chia cho x 1 dư 1 và chia cho x2 2 dư là 2x. 
Tìm đa thức dư khi f(x) chia cho (x 1)(x2 2) .
Bài 3 (3,5 điểm) 
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức: x2y – x + 2y = 3.
 1 1 1 1 1 1 
2) Các số x, y, z khác 0 thỏa mãn x y z 1 và x y z 2.
 y z z x x y 
Tính giá trị của biểu thức: T = x2023 + y2023 + z2023
Bài 4 (4,0 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ HE, HF theo thứ tự vuông góc với 
AB, AC (E AB,F AC)
1) Chứng minh: AH2 AE.AB và tam giác AEF đồng dạng với tam giác ACB.
2) Phân giác của A· HB , A· HC , B· AC theo thứ tự cắt AB, AC, BC theo thứ tự tại M, N và D. 
Chứng minh: DM song song với AC và tứ giác AMDN là hình vuông.
3) Trên đoạn HC lấy điểm I sao cho B· FH H· FI. Chứng minh ba điểm A, I và trung điểm của 
HF thẳng hàng.
Bài 5 (2,0 điểm) 
Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng nếu 
S AFE S FBD S DCE thì tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 6 (1,5 điểm) Chứng minh rằng nếu các số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện:
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (40 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 x3 y3 z3
 3 thì x y z 9.
x2 xy y2 y2 zy z2 z2 zx x2
 ----------HẾT----------
 DeThiHay.net