Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (55 Đề kèm lời giải)

 Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (55 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 f x 27
Câu 14. Cho f x là đa thức thỏa mãn lim 9 . Tính giới hạn
 x 3 x 3
 1 1 
L lim 2 f x 19x 3 
 2 .
 x 3 x 3 x 3x 
 2 2 1 1
A. L . B. L . C. L . D. L .
 3 3 3 3
Câu 15. Một hộp đựng chín quả cầu giống nhau được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải lấy ra ít 
nhất bao nhiêu quả cầu để xác suất có ít nhất một quả ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn 5 ?
 6
A. 6 B. 5 C. 7 D. 8
Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB 2a , AD 3a , AA 4a . Gọi là góc 
giữa hai mặt phẳng AB D và A C D . Giá trị của cos bằng
 2
A. 29 . B. 27 . C. . D. 137 .
 61 34 2 169
 1 2 n
Câu 17. Tính các tổng sau: S2 Cn 2Cn ... nCn
A. 2n.2n 1 . B. n.2n 1 . C. 2n.2n 1 . D. n.2n 1
Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 
log2 x 3log x 2
 3 3 0 có không quá 3 nghiệm nguyên dương?
 m 2x
A. 127 . B. 128.C. 63.D. 64 . 
Câu 19. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên ¡ , có đồ thị f (x) như hình vẽ.
 2 2
 x3 m x 4 
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m 20;20 để hàm số g(x) f đồng 
 4 20
biến trên khoảng 0; .
A. 6 . B. 7 . C. 17 . D. 18.
Câu 20. Vào dịp kỷ niệm Quốc khánh 02/9/2024, thành phố X tổ chức bắn pháo hoa. Có 2 
ống bắn pháo hoa A và B được đặt trong 2 mặt phẳng song song với nhau và cách nhau 2 m , 
ống bắn A đặt nghiêng so với mặt đất một góc 800 và ống bắn B nghiêng so với mặt đất một 
góc 70 . Hai pháo A và B được bắn đồng thời và cùng đi được quãng đường 100m thì nổ. 
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (55 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
Khi nổ hai quả pháo cách nhau bao nhiêu m. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
A. 17,55m.B. 17,54m. C. 15,55m.D. 15,54m.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Trong mỗi ý a),b), 
c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
 2x2 mx 1 
Câu 1. Cho hàm số y f x log .
 2 
 x 2 
 2x 1
a) Khi m 0 thì đạo hàm của y f x trên 2; là y .
 2x2 1 ln 2 x 2 ln 2
b) Khi m 1 thì phương tình f x 1 có hai nghiệm phân biệt.
c) Khi 0 m 2 2 thì tập xác định của hàm số y f 2 x2 là D 2 ; 2 .
d) Tập các giá trị của m để phương trình f x 2x2 mx 1 x 2 có hai nghiệm phân biệt 
 9 
là ; .
 2 
Câu 2: Cho lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 6 , AD 3 , 
A C 3 và mặt phẳng AA C C vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng AA C C , 
 3
 AA B B tạo với nhau góc có tan . Gọi M là trung điểm của AA và K là hình chiếu 
 4
của B trên AC .
a) sđ B , AA', D sđ B· AD
b) BK  AA 
c) CM 2 2
d) Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A B C D là 8
Câu 3. Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40 bắc trong ngày thứ t của một 
năm không nhuận được cho bởi hàm số: d t 3sin t 80 12 , t ¢ và 0 t 365. Vào 
 182 
ngày nào trong năm thì thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất?
a) Số giờ có ánh sáng trong ngày không vượt quá 15
b) Chu kỳ của hàm số : d t 3sin t 80 12 là 364
 182 
c) Trong tháng 1 có một ngày mà số giờ có ánh sáng là 9
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (55 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
d) Ngày có nhiều giờ ánh sáng nhất là ngày 21 tháng 6
Câu 4. Cho hình hộp ABCD  A B C D , biết điểm A 5; 2;0 , B 4;5; 2 ,C 0;3;2 , A 9;0;5 . Gọi M 
là trung điểm AA .
a) Tọa độ D 1; 4;4 .
   3 609
b) Giá trị cos MB;MD .
 609
     
c) AA C D BC AC 3 29 .
      
d) Điểm K di chuyển trên trục Ox . Đặt Q 2 KA KB KC 3 KB KC . Giá trị nhỏ nhất của 
Q bằng 6 37 .
Câu 5: Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình ở khu vực A 
tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:
 Lượng nước tiêu thụ 
 3 3;6 6;9 9;12 12;15 15;18 
 m 
 Số hộ gia đình 24 57 42 29 8
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 9,375 . 
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho xấp xỉ bằng 5,94 .
c) Mốt của mẫu số liệu là M O 8,0625 .
d) Mức sử dụng nước của các hộ gia đình ở khu A đồng đều hơn các hộ gia đình ở khu B . 
Biết rằng người ta tính được độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê lượng nước các hộ gia 
đình ở khu B sử dụng xấp xỉ bằng 2,75 .
Câu 6: Một máy bay quân sự có 3 bộ phận A , B , C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay 
sẽ rơi khi có hoặc 1 viên đạn trúng vào A , hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C 
. Giả sử các bộ phận A , B , C lần lượt chiếm 15 % , 30% và 55% diện tích máy bay. Tính 
xác suất để máy bay rơi nếu:
a) Xác suất máy bay không rơi khi máy bay bị trúng 1 viên đạn là 0, 45
b) Khi máy bay trúng 2 viên đạn thì xác suất để 1 viên trúng B và 1 viên trúng C là 0,85
c) Xác suất để máy bay rơi khi máy bay bị trúng 2 viên đạn là 0,3675
d) Xác suất để máy bay rơi khi máy bay bị trúng 3 viên đạn là 0,72775
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Hình dưới đây là mương dẫn nước thủy lợi tại một địa phương phục vụ tưới tiêu cho 
ruộng đồng. Phần không gian trong mương để nước chảy có mặt cắt ngang là hình chữ nhật 
ABCD . Với điều kiện lưu lượng nước qua mương cho phép thì diện tích mặt cắt ABCD là 
0,48m2 . Để đảm bảo yêu cầu kỹ thuật tốt nhất cho mương, người ta cần thiết kế sao cho tổng 
độ dài T AB BC CD là ngắn nhất. Khi đó chiều rộng đáy mương bằng bao nhiêu (biết 
chiều rộng phải dưới 1m , làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). 
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (55 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
Câu 2: Trong khoảng 10;20 có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 
 2m 
4x log3 (x 1) log9 9(x 1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Câu 3. Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng cho thành phố. Trên bản thiết 
kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 
300 mét (tham khảo hình vẽ) . Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu MN bắc xuyên tòa 
nhà (điểm đầu thuộc cạnh A'C , điểm cuối thuộc cạnh BC ') và cây cầu này sẽ được dát vàng 
với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải 
chọn vị trí cây cầu sao cho MN ngắn nhất . Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ 
đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị)
 z
A C 
 B 
 M
 N
 C
A
 O y
 x B
Câu 4: Cho tứ diện ABCD có DA DB DC 6 và đôi một vuông góc với nhau. Điểm M 
thay đổi trong tam giác ABC . Các đường thẳng đi qua M song song DA, DB, DC theo thứ tự 
cắt các mặt phẳng DBC , DCA , DAB lần lượt tại A1; B1;C1 . Tìm thể tích lớn nhất của khối tự 
diện MA1B1C1 khi M thay đổi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x x2 9x x2 9 , với mọi x ¡ . Có bao 
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x f x3 3x 2m m2 có không quá 6 
điểm cực trị?
Câu 6. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A. 
Gọi P là xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1. Tính 
1000.P (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
 -----------HẾT-----------
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (55 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
PHẦN I. Câu trả lời trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. 
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 26. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
 1B 2B 3C 4A 5D 6D 7D 8D 9C 10A
 11C 12A 13A 14B 15A 16A 17D 18B 19C 20A
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. 
Thí sinh trả lời từ câu 27 đến câu 31. Trong mỗi ý a),b),c),d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng 
hoặc sai.
 Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6
 a)Đ a)S a)Đ a)Đ a)Đ a)Đ
 b)S b)Đ b)Đ b)S b)S b)S
 c)Đ c)Đ c)S c)Đ c)Đ c)Đ
 d)Đ d)Đ d)S d)Đ d)S d)Đ
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 32 đến câu 37, đáp số là 
số nguyên hoặc số thập phân có không quá 4 kí tự kể cả dấu “-” và dấu “,”.
Câu 1: 0,98
Câu 2: 23
Câu 3: 671
Câu 4: 1,33
Câu 5: 5
Câu 6: 14,3
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 
26. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?
A. 1;1 . B. 0;1 . C. 4; . D. ;2 .
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 2; 3; 3 , b 0; 2; 1 , c 3; 1; 5 . 
Tìm tọa độ của vectơ u 2a 3b 2c .
A. 10; 2;13 .B. 2; 2; 7 .C. 2; 2; 7 . D. 2; 2; 7 .
Lời giải
Chọn B. 
Có 2a 4; 6;6 ; 3b 0;6; 3 ; 2c 6;2; 10 . Khi đó: u 2a 3b 2c 2; 2; 7 .
      
Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Đặt AA1 a, AB b, AC c, BC d, trong các 
đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?   
A. a b c d 0 . B. a b c d . C. b c d 0 . D. a b c .
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (55 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
Lời giải
Chọn C. 
 A C
 B
A1 C1
 B1     
+ Dễ thấy: AB BC CA 0 b d c 0 .
Câu 4. Cho cấp số cộng un có u3 15 và d 2 . Tìm un
 3 3
A. u 2n 21 B. u n 12 C. u 3n 17 D. u n2 4
 n n 2 n n 2
Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Chọn đẳng thức sai?
     1 1 1 1     
A. BC BA B C B A . B. AD D C D A DC .
   1 1 1 1  1 1 1 1  
C. BC BA BB1 BD1 . D. BA DD1 BD1 BC .
Lời giải
Chọn D. 
 B1 C1
A1 D1
 B C
A
  D         
Ta có : BA DD BD BA BB BD BA BD BC nên D sai.
   1  1 1 1 1 1 
Do BC B C và BA B A nên BC BA B C B A . A đúng
  11  1 1   1 1 1 1  
Do AD D C D A AD D B A D D B A B DC nên 
  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
AD D C D A DC nên B đúng.
  1 1 11    
Do BC BA BB1 BD DD1 BD1 nên C đúng.
Câu 6. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau :
 x4 1
 Hỏi đồ thị hàm số y g x có bao nhiêu tiệm cận đứng?
 f 2 x 4 f x 
A. 5. B. 2. C. 3.D. 4.
Lời giải
Chọn D.
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (55 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 x a, a ; 1 
 f x 0
 2 x 1 (ng kép)
Xét phương trình f x 4 f x 0 .
 f x 4 x 1 (ng kép)
 x b, b 1; 
 f 2 x 4 f x h x x a x 1 2 x b x 1 2 ; h x 0
 2
 x4 1 x 1 x 1 x 1 x2 1
Do đó y g x . 
 f 2 x 4 f x h x x a x 1 2 x b x 1 2 h x x a x 1 x b x 1 
 x4 1
Vậy đồ thị hàm số y g x có 4 tiệm cận đứng.
 f 2 x 4 f x 
Câu 7: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A 2;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;2 . Gọi M là điểm 
trong không gian thỏa mãn: ·AMB B· MC C· MA 90 (M không trùng với các điểm A, B,C 
và gốc O). Tính xM yM zM
A. 0. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Chọn D
   
 AM.BM 0
   
Gọi M x; y; z .Ta có: ·AMB B· MC C· MA 90 BM.CM 0
   
 CM.AM 0
 2
 x x 2 y y 2 z 0 x2 y2 z2 2x 2y 0 x2 y2 z2 2x 2y 0
 2 2 2 2 
 x y y 2 z z 2 0 x y z 2y 2z 0 x z
 2 2 2 2 y z
 x x 2 y z z 2 0 x y z 2x 2z 0 
 M 0;0;0 
 3x2 4x 0 
 4 4 4 .
 x y z M ; ; 
 3 3 3 
 3 
Câu 8. Phương trình sin 3x có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0; ?
 3 2 2 
A. 3.B. 0 . C. 1.D. 2.
Câu 9. Cho tứ diện ABCD , lấy các điểm M , N lần lượt thuộc cạnh BC , AD sao cho 
2BM 3MC , 2AN 3ND . Khẳng định nào sau đây đúng?
  3  2   3  2  
A. MN AB CD .B. MN AB CD .
 5 5 5 5
  2  3   2  3  
C. MN AB CD .D. MN AB CD .
 5 5 5 5
Lời giải
Chọn C
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (55 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 A
 N
B D
 M
 C
   
 M N BC AD 2BM 3MC 2AN 3ND 2BM 3MC
Vì  ,  lần lượt thuộc cạnh , sao cho , nên , 
2AN 3ND
  .      
MN MC CD DN 3MN 3MC 3CD 3DN
        
MN MB BA AN 2MN 2MB 2BA 2AN
  2  3  
Suy ra MN AB CD .
 5 5
Câu 10. Biểu đồ sau biểu diễn chiều cao của một nhóm học sinh nữ lớp 12.
Từ biểu đồ trên ta tính được độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 4, 26 B. 18,14 C. 13,02 D. 2,07
Lời giải
a) Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm và tính được giá trị đại diện của mỗi nhóm 
như sau:
 Chiều cao (cm) [160; 164) [164; 168) [168; 172) [172; 176) [176; 180)
 Số học sinh 3 5 8 4 1
 Giá trị đại diện 162 166 170 174 178
Số học sinh nữ lớp 12 tham gia khảo sát là n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
 3.162 5.166 8.170 4.147 1.178 3550
x 
 21 21
b) Ta có bảng thống kê mẫu số liệu mới:
 Giá trị đại diện 162 166 170 174 178
 Số học sinh 3 5 8 4 1
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (55 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
Cỡ mẫu n = 21.
 3550
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: x 
 21
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: 
 2 2 2 2 2
 3550 3550 3550 3550 3550 
 3 162 5 166 8 170 4 174 1 178 
 21 21 21 21 21 8000
s2 18,14
 21 441
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: 
 8000
s s2 4,26
 441
 1 1 sin 2x cos 2x
Câu 11: Biết sin x và 900 x 1800 thì biểu thức có giá trị bằng:
 3 1 sin 2x cos 2x
 1 1
A. 2 2 . B. . C. 2 2 . D. .
 2 2 2 2
Câu 12. Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một chi nhánh 
của doanh nghiệp A được ghi lại dưới bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
 Doanh 
 [5;7) [7; 9) [9;11) [11;13) [13;15)
 thu
 Số ngày 2 7 7 3 1
Hãy tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên? (giá trị gần nhất)
A. 7.86 . B. 7.68 . C. 7.81 . D. 7.56 .
Câu 13. Cho log2 5 a,log2 7 b . Tính log5 2450.
 1 2a 2b 1 a 2b 1 2a b 1 a b
A. . B. . C. . D. .
 a a a a
Lời giải
Chọn A
Ta có: 2450 2.52.72 . 
 log 2.52.72
 log2 2450 2 1 2log2 5 2log2 7 1 2a 2b
Suy ra: log5 2450 .
 log2 5 log2 5 log2 5 a
 f x 27
Câu 14: Cho f x là đa thức thỏa mãn lim 9 . Tính giới hạn
 x 3 x 3
 1 1 
L lim 2 f x 19x 3 
 2 .
 x 3 x 3 x 3x 
 2 1 1
A. L . B. L = - . C. L . D. L .
 3 3 3
Lời giải
Chọn B
 1 1 
 L lim 2 f x 19x 3 
Ta có 2 
 x 3 x 3 x 3x 
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (55 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 1 1 
 lim 2 f x 54 19 x 3 . 1 
 x 3 x 3 x 
 2 f x 27 19 x 3 1 
 lim . 1 
 x 3 x 3 x 
 f x 27 1 1 2
 lim 2 19 . 1 2.9 19 1 .
 x 3 x 3 x 3 3
Câu 15. Một hộp đựng chín quả cầu giống nhau được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải lấy ra ít 
 5
nhất bao nhiêu quả cầu để xác suất có ít nhất một quả ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn ?
 6
A. 6 B. 5 C. 7 D. 8
Lời giải:
Chọn A 
Nhận thấy trong chín quả cầu đã cho có hai quả ghi số chia hết cho 4 (các quả ghi số 4 hoặc 
số 8) ; bảy quả còn lại ghi số không chia hết cho 4.
 x
Giả sử rút ra x quả 1 x 9, x ¥ ; số cách chọn x từ 9 quả trong hộp là C 9 ; số phần tử 
 x
của không gian mẫu là n  C9 .
Gọi A là biến cố: ‘Trong số x quả lấy ra, có ít nhất một quả ghi số chia hết cho 4’’. Thế thì 
biến cố đối của A là A : ‘Trong số x quả lấy ra, không có quả nào ghi số chia hết cho 4’’
 x
Số cách chọn tương ứng với biến cố A là n A C7 .
 n A x
 C7 9 x 8 x 
Ta có P A x 
 n  C9 72
 5 1 9 x 8 x 1
Do đó P A 1 P A P A 
 6 6 72 6
hay x2 17x 60 0 5 x 12
Suy ra 6 x 9 1 x 9, x ¥ 
Giá trị nhỏ nhất của x là 6. Vậy số quả cầu phải rút ra ít nhất mà ta phải tìm là 6.
Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB 2a , AD 3a , AA 4a . Gọi là góc 
giữa hai mặt phẳng AB D và A C D . Giá trị của cos bằng
 29 27 2 137
A. . B. . C. . D. .
 61 34 2 169
Lời giải
Chọn A
 DeThiHay.net