Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (58 Đề kèm lời giải)

 Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 0,5
 4 5
 Dựa vào BBT suy ra PT (2) có nghiệm khi 4 3m 5 m 
 3 3
 4 5
 Vậy PT ban đầu có nghiệm khi m .
 3 3
 Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg 
 nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam 
 sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để 
 sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 
3 (3,0 điểm)
 máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 
 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy 
 chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao 
 nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất.
 Giả sử sản xuất x(kg) sản phẩm loại I và y(kg) sản phẩm loại II. 1,0
 Điều kiện x 0, y 0 và 2x 4y 200 x 2y 100
 Tổng số giờ máy làm việc: 3x 1,5y 
 Ta có 3x 1,5y 120
 Số tiền lãi thu được là T 300000x 400000y (đồng).
 x 0, y 0
 Ta cần tìm x, y thoả mãn: x 2y 100 (I) sao cho 
 3x 1,5y 120
 T 300000x 400000y đạt giá trị lớn nhất.
 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng 1,0
 d1 : x 2y 100; d2 : 3x 1,5y 120
 y
 D
 B E
 x
 O C A
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(100;0), cắt trục tung tại 
 điểm B(0;50) . 1,0
 Đường thẳng d2 cắt trục hoành tại điểm C(40;0) , cắt trục tung tại 
 điểm D 0;80 .
 Đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm E 20;40 .
 Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa 
 giác OBEC .
 x 0 x 0
 T 0; T 20000000 ; 
 y 0 y 50
 x 20 x 40
 T 22000000 ; T 12000000
 y 40 y 0
 Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất 
 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II.
 푆푖푛 sin 
 Cho tam giác ABC thỏa mãn: AB.AC = 12 và cos cos = sin A. Gọi 
4 M là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. (3,0 điểm)
 Tìm diện tích tam giác BMG.
 Đặt BC a, AC b, AB c . Áp dụng định lí sin cho ABC ta có: 0,5
 a b c a b c
 2R sin A ,sin B ,sinC 
 sin A sin B sinC 2R 2R 2R
 sin B sinC 0,5
 Khi đó sin A b c a cos B cosC (*)
 cos B cosC
 Áp dụng định lí cosin cho ABC ta có: 
 a2 c2 b2 a2 b2 c2
 cos B ,cosC 1,0
 2ac 2ab
 nên (*)
 a2 c2 b2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 0,5
 b c a 0
 2ac 2ab 2c 2b
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 c b b2 c2 a2 0
 0,5
 AB.AC
 b2 c2 a2 tam giác ABC vuông tại A và S 6
 ABC 2
 1 1
 Ta có S S S 1.
 GBM 2 GBC 6 ABC
 a. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy các điểm G và 
 H sao cho DG = GH = HB. Gọi M là giao điểm của AH và BC; N là 
    
 giao điểm của AG và DC. Chứng minh: 2AM 2AN 3AC 
5 b. Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm (4,0 điểm)
 O. Gọi điểm H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABO và CDO. Gọi 
 điểm I, J lần lượt là trung điểm của cạnh AD và BC. Chứng minh rằng
 HK  JI .
 a.
 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Từ gt suy ra O là trung điểm 
 của HM 1,0
 HM BH 1 3  3  
 Do BM / / AD nên AM AH AM AH
 AH HD 2 2 2
  3  
 Chứng minh tương tự ta có AN AG 
 2 1,0
       
 2AM 2AN 3(AG AH ) 3.2AO 3AC
 b.
 1,0
     
 IJ IA AC CJ    
 Ta có: 2IJ AC DB .
     1,0
 IJ ID DB BJ
          
 Suy ra: HK.2IJ HK(AC DB) HK.AC HK.DB
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
             
 (HB BD DK)AC (HA AC CK)DB AC(BD DB) AC.0 0
   
 Vậy HK.IJ 0 nên HK  JI .
 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 y2 z2 9 và x y z 3. Tìm 
 x z 1 (2,0 điểm)
 giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P .
 y 4
 Ta có: x z 2 2 x2 z2 x z 2 2 9 y2 3 y 2 3y2 6y 9
 x z 1 2 2
 Khi đó: P P y 4 1 x z nên P y 4 1 x z 0,5
 y 4 
 P2 y 4 2 2 y 4 P 1 3y2 6y 9 0,25
6 P2 3 y2 8P2 2P 6 y 16P2 8P 8 0 1 
 0,25
 Phương trình 1 có nghiệm 
 2
 4P2 P 3 P2 3 16P2 8P 8 0 0,25
 11
 63P2 30P 33 0 1 P 0,5
 21
 11 8 56 7
 Vậy P khi y , x , z 0,25
 max 21 19 19 19
 và Pmin 1 khi y 0 , x 0, z 3.
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐỀ SỐ 4
 TRƯỜNG THPT PHÚ XUYÊN B KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
 Năm học 2024 - 2025
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán - Lớp 10
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (5 điểm)
1. Cho hai tập hợp A = ( ―∞; m] , B = [3 – m; 10)
a) Với m = 4, tìm A B 
b) Tìm m để B \ A có ít nhất 5 số nguyên.
2. Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết 
chơi đá cầu, 30 em biết chơi cầu lông, 15 em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em 
chỉ biết đá cầu? Bao nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu? 
Câu II: (4 điểm)
1. Trên đoạn [– 9; 10] có bao nhiêu giá trị nguyên của m để x – y + 2m – 1 0 với mọi x và 
y thoả mãn 
 y 2x 2
hệ 2y x 4 
 x y 5
2. Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm 
mới của công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai 
loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho 
thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận 
chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng. Xe B chở tối đa 
10 người và 1,5 tấn hàng.
Câu III: (5 điểm)
1. Chứng minh rằng với tam giác ABC bất kì, ta có: sinC = sinA.cosB + sinB.cosA
 a3 c3 b3
2. Cho tam giác ABC có a = 2b.cosC và b2 . 
 a c b
Chứng minh rằng ABC là tam giác đều
3. Cho tam giác ABC có 2a + 2b + 2c = 3(2 + 6 + 2 ) , A = 600, C = 450. Tìm a, b, c
Câu IV: (4 điểm)
1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và G là trọng tâm. Gọi E là trung điểm của 
    
AG. Tìm hai số m và n sao cho CE mAB nMG 
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(2; 1), B(0; – 2) và trực tâm H(– 16; 
10). Tìm toạ độ điểm C
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
Câu V: (2 điểm)
1. Cho tam giác ABC đều tâm O. Lấy M tùy ý nằm trong tam giác ABC. Gọi F, D, E lần lượt 
    3  
là hình chiếu của M trên AB, BC, CA. Chứng minh rằng: MD ME MF MO
 2
2. Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 5, M là điểm cố định cách O một đoạn bằng 7. Gọi d 
là đường thẳng thay đổi luôn đi qua M và cắt (O) tại hai điểm phân biệt A và B. Tính 
  
MA.MB
 ----------HẾT----------
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
 I.1a Với m = 4 suy ra A = ( ; 4] , B = [ – 1; 10). Vậy AB = [ – 1; 4]
 2
 2 đ
 3
 + Nếu m < 3 – m ⇔ m < thì B\A = [3 – m; 10). Tập này chứa ít nhất 5 
 2
 số nguyên khi 3 – m ≤ 5 ⇔ m ≥ - 2. 1
 3
 Kết hợp điều kiện đang xét ta được – 2 ≤ m < .
 2
I.1b 3
 + Nếu m ≥ 3 – m ⇔ m ≥ thì B\A = (m;10). 
 2 đ 2
 Tập này chứa ít nhất 5 số nguyên khi m < 5.
 3 1
 Kết hợp điều kiện đang xét ta được ≤ m < 5.
 2
 Vậy điều kiện cần tìm là – 2 ≤ m < 5.
 Gọi A là tập các học sinh chơi đá cầu 
 I.2
 1 đ
 B là tập các học sinh chơi cầu lông
 Dựa vào biểu đồ ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là 25 – 15 = 10 1
 Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là 30 – 15 = 15.
 Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10 + 15 + 15 = 40.
 y 2x 2
 Miền nghiệm của hệ 2y x 4 là miền trong của tam giác ABC kể cả biên
 x y 5
 II.1
 2 đ
 1
 Đặt F = x – y , khi đó để x – y + 2m – 1 0 với mọi x và y thoả mãn hệ 
 y 2x 2
 2y x 4
 x y 5
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 Thì maxF 1 – 2m 
 Ta thấy F = x – y đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . 0,5
 Tại A 0;2 thì F 2.
 Tại B 1;4 thì F 3
 Tại A 2;3 thì F 1. 0,5
 Vậy maxF = – 1 khi x = 2 và y = 3
 Do đó – 1 1 – 2m m 1. 
 Vậy trên đoạn [– 9; 10] có 11 giá trị nguyên của m
 Gọi x là số xe loại A 0 x 10; x ¥ , y là số xe loại B 0 y 9; y ¥ . 
 Khi đó tổng chi phí thuê xe là T = 4x + 3y.
 Xe A chở tối đa 20 người, xe B chở tối đa 10 người nên tổng số người 2 xe 
 chở tối đa được là 20x + 10y.
 Xe A chở được 0,6 tấn hàng, xe B chở được 1,5 tấn hàng nên tổng lượng 
 hàng 2 xe chở được là 0,6x + 1,5y.
 0 x 10
 0 y 9
 Theo giả thiết, ta có * 
 20x 10y 140
 0,6x 1,5y 9
 1
 II.2
 2 đ
 Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình * là tứ giác ABCD kể cả 
 miền trong của tứ giác.
 0,5
 Biểu thức T = 4x + 3y đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ 
 giác ABCD.
 5
 Tại các đỉnh A (10;2); B(10;9); C( ;9); D(5;4), ta thấy T đạt giá trị nhỏ 
 2
 x 5 0,5
 nhất tại . Vây để chi phí thấp nhất cần thuê 5 xe A và 4 xe B
 y 4
 Áp dụng định lí sin và cosin trong tam giác ABC ta có
III.1
 a a2 c2 b2 b b2 c2 a2 1
 2 đ VP = . .
 2R 2ac 2R 2bc
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 1 a2 c2 b2 b2 c2 a2 c
 = = = sinC = VT (đpcm)
 2R 2c 2c 2R 1
 Từ a = 2b.cosC, áp dụng định lí cosin ta có 
 a2 b2 c2 1
 a = 2b. a2 a2 b2 c2 b = c (1)
III.2 2ab
 2 đ a3 c3 b3 1
 Thay b = c vào b2 ta có a2 = b2 hay a = b (2)
 a c b
 Vậy từ (1) và (2) suy ra ABC đều
 a b c
 Ta có B = 750. Áp dụng định lí sin ta được 
 sin 60o sin 75o sin 45o
 2a 2b 2c
 3 6 2 2 0,5
 2
III.3
 Theo dãy tỉ số bằng nhau ta có
 1 đ
 2a 2b 2c 2(a b c) 6
 = 
 3 6 2 2 6 2 3
 3 2
 2 2 0,5
 3 2 6
 Suy ra a = 3, b , c = 6
 2
 uur uuur uuur uuur uuur
 Ta có CE CM ME MB 2MG
 1
IV.1
 2 đ
 uuur uuur uuur
 = AB AM 2MG 1
 uuur uuur uuur
 AB 3GM 2MG
 uuur uuur
 AB 5MG
 Vậy m = 1 và n = 5 
 uuur uuur
 AB.HC 0
 Gọi C(x; y), do H là trực tâm của tam giác ABC nên ta có uuur uuur 1
 AC.HB 0
IV.2 
 1
 2 đ 2x 3y 2 x 1
 2 Vậy C( ; – 1) 
 4x 3y 5 y 1 2 1
 DeThiHay.net Bộ đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (58 Đề kèm lời giải) - DeThiHay.net
 Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC ( 
 như hình vẽ ) Do ABC đều nên ta có MHCP, MQAI, MNBK là các hình 
 bình hành và MKD, MPQ, MIN là các tam giác cân tại M. Suy ra D, E, F 
 lần lượt là trung điểm của KH, PQ, IN
V.1
1 đ
 0,5
 Áp dụng quy tắc trung điểm và hình bình hành ta có 
       
    MK MH MP MQ MI MN
 MD ME MF 
 2 2 2
 1   1   1   1    
 = MP MH MQ MI MN MK = MA MB MC 
 2 2 2 2 
     
 Mặt khác O là trọng tâm do đó MA MB MC 3MO 
    3  0,5
 Vậy MD ME MF MO
 2
 Giả sử A nằm trong đoạn MB. Gọi C đối xứng với B qua tâm O, khi đó 
 CA  MB
 0,5
   
 Ta có MC.MB MC.MB.cosC· MB
V.2
 MA
1 đ MC.MB. MB.MA (1)
 MC 0,5
   
 Mà MA, MB cùng hướng nên 
   
 MA.MB MA.MB.cos00 MA.MB (2)
     
 Từ (1) và (2) suy ra MA.MB MC.MB
          2  2
 = MO OC MO OB = MO OB MO OB = MO OB 
 = MO2 – R2 = 49 – 25 = 24
   
 Vậy MA.MB = 24
 DeThiHay.net